\documentclass[finnish,10pt,twocolumn]{article}
%\usepackage{/home/apiola/tex/KP3harj}
\usepackage{KP3harj}
\usepackage{ae,aecompl} 
%\usepackage{KP3vara}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
\def\Ln#1{\textit{Ln #1}}
\def\Log#1{\textit{Log #1}}
\def\Re {\textit{Re}}
\def\Im {\textit{Im}}
\def\Arg {\textit{Arg}}
\def\arg {\textit{arg}}
% vektori
\newcommand{\Ve}[1]{{\bf #1}}

%%%%%  madotus ~~~~~~~~~~~~~~  matol��ke
%$f(t)={\cal L}^{-1}\Bigl\lbrace F(s)\Bigr\rbrace$

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}


\harjoitus{5}{49}{4 -- 8.12.2006 (LV 6.12 $\to$ 13.12)}

%Kurssin www-sivuja:\\
%P��sivu:  \texttt{http://math.tkk.fi/opetus/kp3-ii/}\\%[2ex] 
Luentomateriaalit: Kalvot,prujut ..., seuraa L-sivun p�ivityksi�.
[KRE] 3.4 -- 3.6, 19.1,19.3, 10.1--10.4 \\
Fourier-sarjoista on pruju, joka tulee my�s Editan kautta
l�hip�ivin�.








\subsubsection*{Alkuviikko}

6.12. AV-ryhm�l�iset: Vierailkaa muissa ryhmiss�.

\begin{enumerate}

\item
M��rit� (EHY):n 
$\begin{cases}y_1' = 3\, y_1 + y_2 - 3\, \sin \, 3 t\\
y_2' = 7 y_1 - 3\, y_2 + 9\, \cos \, 3t -16\, \sin\, 3t
\end{cases}$

yleinen ratkaisu.

Ohje: Suorita teht�v� diagonalisointitekniikalla (KRE s. 187 -- 188).
Diagonalisoinnissa syntyv�t skalaariyht�l�t voit ratkaista joko
tyyliin "(HY):n yleinen + (EHY):n erikoinen", miss� tuo erikoinen
haetaan esim. m��r��m�tt�mien kertoimien menetelm�ll�.
Yleisp�tev� tapa on integraalikaava, joka saadaan ns. 
"vakion variointikaavasta". (KRE) kaava (19) s. 188.

Vastaus: $\begin{cases} 
y_1 = c_1\, e^{-4 t} + c_2\, e^{4 t} + \sin \, 3 t \\
y_2 = -7 c_1 e^{-4t} + c_2 e^{4 t} + 3\, \cos \, 3 t
\end{cases}$


\item
Klassinen saalis-saalistaja-ongelma ("ketut ja j\"anikset", Volterran-Lotkan
malli) on seuraavanlainen:  Alueella olevien j�nisten ja kettujen
lukum��ri� merkit\"a\"an $x(t)$:ll\"a ja $y(t)$:ll\"a vastaavasti.

Ajatellaan, ett� j�nikset sy�v�t ruohoa ja ketut j�niksi� (ja vain niit�).
Kasvua rajoittavia tekij�it� ei ole, muuta kuin j�niksille ketut
ja ketuille j�nisten puute (eli kilpailevat ketut). Tilannetta mallintavat 
yht�l�t voisivat olla
vaikkapa:
$\begin{cases}
x'= 200\, x -4\, x\, y \\
y'=-150\,y  + 2\, x\, y.
\end{cases}$


M��rit� systeemin kriittiset pisteet. Linearisoi siin�, jossa populaatiot
eiv�t kuole sukupuuttoon.

\item
M��rit� edell� linearisoidun systeemin luonne ja piirr� jokin trajektori, 
jonka
pit�isi kuvata alkuper�ist� ep�lineaarista systeemi�, jos ollaan
l�hell� kriittist� pistett�. (T�ss� on kyll� tyyppi, joka yleisesti ottaen
voi linearisoinnissa muuttua, mutta t�m�n systeemin tapauksessa s�ilyy.)

Piirr� my�s vastaavat koordinaattifunktioiden $x(t)$ ja $y(t)$ kuvaajat
ajan funktioina.

Selvit� faasitason k�yr�� seuraamalla, miten populaatiot kehittyv�t
yhden kokonaisen jakson kuluessa.

"Vapaaehtoinen", mutta suositeltava:
Piirr� mieluusti {\tt pplane7}-ohjelmalla \matl:ssa.
Vahvista samalla kuvan perusteella n�kemyst� edell� viitattuun tyypin
s�ilymiseen linearisoinnissa.


\item
Tarkastellaan vaimennettua heiluria, jonka yht�l� on \\
$\Theta''+  c \, \Theta' + k\, \sin(\Theta)  = 0.$

M��rit� kriittiset pisteet ja linearisoi niiss�.
Toisin sanoen, suorita vastaavat asiat, jotka tehtiin luennolla
vaimentamattoman heilurin yhteydess�.

Hahmottele tavalla tai toisella, mieluiten {\tt pplane7}:ll�
trajektoreita ja selvit� niit� seuraamalla heilurin k�yt�st�, vertaa
vaimentamattoman k�yt�kseen.
 
Ohje: Jos avaat KRE8-kirjan s. 177, saat varsin pitk�lle menev�� avustusta.
Suorita joka tapauksessa linearisointi Jakobiaanin avulla, eik� KRE-tyylill�.
\\
{\tt pplane7}-ohje: Valitsemalla 
{\em Gallery} ja sielt� {\em pendulum}, voit asettaa vaimennusta enemm�n tai
v�hemm�n. Kokeile pienell� vaimennuksella aluksi ainakin.







\end{enumerate}


\subsubsection*{Loppuviikko}

6.12. LV-ryhm�l�iset: T�m� harjoitus pidet��n ke 13.12.
\begin{enumerate}

\item
Sovella Eulerin menetelm�� lineaariseen systeemiin
$\begin{cases} 
y_1'=-y_1+y_2\\
y_2'=-y_1-y_2
\end{cases} y_1(0)=0,\ \ y_2(0)=4.$

K�yt� askelpituutta $h=0.2$ ja laske $3$ askelta.
Piirr� ratkaisupolku $y_1y_2-$ tasoon (faasitasoon) 

Ratkaise teht�v� my�s tarkasti, ominaisarvojen avulla.
Hahmottele trajektori ja piirr� edell� saatu ratkaisupolku
samaan kuvaan.


\item %1
Ratkaise alkuviikon j�nis-kettu-systeemi Eulerin 
menetelm�ll�. %Ota $\alpha=0.01$ ja 

$x(0)=100,
y(0)=100$
ja laske $3$ askelta k�ytt�en askelta $h=0.001$.
Piirr� polku $xy-$tasoon (faasitasoon). Piirr� mielell��n samaan kuvaan
"oikea" ( ts. paremmalla numeerisella menetelm�ll� laskettu) trajektori.
Ehdotus: Teep� kuin teekin trajektorin piirto {\tt pplane7}-ohjelmalla (mutta �l� j�� koukkuun).



\item %4
Seuraavat $2\pi$-jaksoiset funktiot on m��ritelty v�lill� 
$\lbrack -\pi,\pi \rbrack$ alla annetuilla kaavoilla.
Hahmottele funktioiden kuvaajat kolmen jaksov�lin 
alueella eli v�lill� $\lbrack -3\pi,3\pi \rbrack.$

% ja selvit�, mitk� ovat parillisia, parittomia tai ei kumpaakaan.

(a) $f(x)=x,\ \ (-\pi < x < \pi)$ \\ 
(b)  $f(x) = \begin{cases}
 x,\ \ \textrm{kun}\/ \ \ -\pi < x < 0 \\
 0,\ \ \textrm{kun}\/ \ \ 0 < x < \pi \\
\end{cases}$

(c) 
$f(x)=\begin{cases}
x^2,\ \ \textrm{kun} \ \ -\pi < x < 0 \\
-x^2,\ \ \textrm{kun} \ \ 0 < x < \pi.
\end{cases}$


\item %5
Ovatko seuraavat funktio parillisia, parittomia, vai ei kumpaakaan?

(a) $f(x)= x\,\cos\,n\,x, $ (b) $f(x)= x^2\,\cos\,n\,x, $ 
(c) $f(x)=\cos \,x + \sin \,x, $ (d) $f(x)= x^2, $ kun $0 < x < 2\pi,$ $f$
on $2\pi-$jaksoinen.


\item %6
Olkoon $2\pi$-jaksoinen funktio m��ritelty jakson pituisella v�lill� n�in:\\
$f(x)=\begin{cases}
c, \ \ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\\
0, \ \ \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}
\end{cases}$

Piirr� $f:$n kuvaaja v�lill� $\left[-2\,\pi,2\,\pi\right].$  Onko $f$
parillinen, pariton tai ei kumpaakaan?

Muodosta $f$:n Fourier-sarja, kirjoita auki osasumma, joka koostuu 3:sta
ensimm�isest� $0$:sta poikkeavasta termist�:
Piirr�, jos voit, t�m�n osasumman ja muidenkin kuvia samaan kuvaan funktion 
kuvaajan kanssa.
%, ja hahmottele t�m�n osasumman
%kuvaaja. (Katso ohjeista \matl-piirtoa.)

Vast(koko sarja): $f(x)\sim \frac{c}{2}+\frac{2c}{\pi}
\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\frac{\cos (2k-1)x}{2k-1}.$\\
Vihje: Huomaa, ett� jaksollisen funktion integraali voidaan laskea mink� 
tahansa v�lin yli, joka on jakson pituinen.

\item %2
Muodosta funktion $f(x)=x, \ \ 0 < x < L$ 
(a) parillinen ja (b) pariton jatke v�lille $\lbrack -L,L \rbrack$
ja piirr� kummankin $2\,L-$ jaksoinen jatke v�lill� 
$\left[-4L,4L\right]$ ja kerro, mink�tyyppisist� termeist� kummankin 
Fourier-sarjat muodostuvat.

Laske parittoman jatkeen Fourier-sarja.

Vast:
$f(x)\sim \frac{2L}{\pi}\left(\sin \frac{\pi x}{L}-
\frac{1}{2}\sin \frac{2\pi x}{L}+\frac{1}{3} \sin \frac{3\pi x}{L} 
- \ldots \right)$



\end{enumerate}

\subsubsection*{Ohjeita}

{\bf Linearisointi:} 

Olkoon DYS 
$\begin{cases}
x' = f(x,y)\\
y' = g(x,y).
\end{cases}
$
ja olkoon $(a,b)$ kriittinen piste (KRP), ts. $f(a,b)=g(a,b)=0.$\\
Pisteess� $(a,b)$ linearisoitu systeemi tarkoittaa systeemi�\\
 $\left[ \begin {array}{c} u'\\\noalign{\medskip}v'\end {array} \right] =
A\,  \left[ \begin {array}{c} u\\\noalign{\medskip}v\end {array}
 \right],$ miss� $u=x-a,\ \ v=y-b$ ja $A$ on Jacobin matriisi:

$A = J_F(a,b) = \left[ \begin {array}{cc} {\frac {\partial }{\partial x}}f \left( x,y \right) &{\frac {\partial }{\partial y}}f \left( x,y \right) 
\\\noalign{\medskip}{\frac {\partial }{\partial x}}g \left( x,y
 \right) &{\frac {\partial }{\partial y}}g \left( x,y \right) 
\end {array} \right] 
 $

%tapahtuu laskemalla kriittiset pisteet (KRP).
%Jos $ {\bf p_0}$ on KRP, niin linearisoidun systeemin matriisi 
%on 
%diff.yht�l�n m��rittelev�n (vektoriarvoisen) funktion ${\bf f}$
%Jacobin matriisi 
%$({\frac {\partial}{\partial y_{{j}}}}f_{{i}}(y_1,...y_n)))$


%Jos linearisoidun systeemin O:n luonne on keskus 
%(ominaisarvot puhtaasti
%imaginaariset), se ei v�ltt�m�tt� kerro alkuper�isen ep�lineaarisen
%systeemin KRP:n luonnetta. Muissa tapauksissa ($\Re(\lambda)\neq 0$)
%sensijaan kertoo. 



\subsubsection*{Diff. yht�l�iden numeriikkaa}

Annettu diff. yht�l�systeemi:
$\y'=f(t,y),\ \ \y(t_0)=\y_0$ 
\\
Jos/kun kyseess� on systeemi, niin $\f$ ja $\y$ ovat vektoriarvoisia.

\paragraph*{Eulerin menetelm\"a}
$y_{n+1}=y_n+h f(t_n,y_n),\ \ y(t_0)=y_0$
%GKV $=O(h)$ (GKV={\bf G}lobaali {\bf k}atkaisu{\bf v}irhe) 

%\paragraph*{Heunin menetelm�} % {\bf Ota kes�tenttiteht.}

%\textbf{Heunin menetelm\"a (eli parannettu Euler)}


%$$\begin{cases}
%\vec{y}_{n+1}^\star=\y_n+h \f(t_n,\y_n) \\
%\vec{k}_n=\frac{1}{2}(\f(t_n,\y_n)+\f(t_{n+1},\y_{n+1}^\star)),\ \
%\vec{y}_{n+1}=\vec{y}_n+h\,\vec{k}_n
%\end{cases}
%$$





%Osittaisintegrointia \maple:lla:\\
%{\tt int(x*sin(a*x),x);} antaa:
%${\frac {\sin \left( ax \right) -ax\cos \left( ax \right) }{{a}^{2}}}$

%{\tt int(x*cos(a*x),x);} antaa:
%${\frac {\cos \left( ax \right) +ax\sin \left( ax \right) }{{a}^{2}}}$







\subsubsection*{Fourier-kertoimet, $f$ m��ritelty v�lill� $(-L,L)$}
$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos {\frac{n \pi x}{L}}+
b_n \sin {\frac{n \pi x}{L}}\right)$ \\
$a_0={\frac{1}{2L}}\int_{-L}^L f(x)dx, \ \
a_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\cos {\frac{n \pi x}{L}} dx ,\\
b_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\sin {\frac{n \pi x}{L}} dx$

N�m� kaavat annetaan kokeissa. 



\end{document}


\subsection*{Fourier-kaavoja ja lauseita}

{\bf Suppenemislause}. Olkoon $f$ jaksollinen funktio, jaksona $p$.
Oletetaan, ett� $f$ on paloittain jatkuva ja ett� sill� on kaikkialla
sek� vasemman ett� oikeanpuoliset derivaatat. 
T�ll�in f:n Fourier-sarja suppenee kaikissa pisteiss� $x$ kohti arvoa
$\frac{1}{2}(f(x-)+f(x))$. Siten kaikissa pisteiss� $x$, joissa $f$ on
jatkuva, sarja suppenee kohti funktion arvoa $f(x)$.

{\bf Huom 1} Vasemmanpuolinen derivaatta tarkoittaa t�ss� yhteydess� 
erotusosam��r�n
vasemmanpuolista raja-arvoa, kun laskentapisteen� on funktion vasemmanpuolinen
raja-arvo. Oikeanpuolinen vastaavasti.
Niinp� esim. Heavisiden funktiolla on origossa vp. ja op. derivaatta
t�ss� mieless� $=0$. "Normaalin" puhetavan mukaan funktio olisi siten
derivoituva ja erityisesti jatkuva 0:ssa, mik� viimeist��n paljastaa, ett�
puhetapamme on normaalista poikkeava.

%{\bf Huom 2} Muitakin riitt�vi� ehtoja tunnetaan. V�ltt�m�tt�mia ja
%riitt�vi� ei tunneta.

Ehk� -- ehk� ei:

Numeerisia menetelmi� laskiessasi voit hyvin k�ytt�� tavallisen laskimen 
sijasta Matlabia laskimena. Tarkoituksenmukaisin tapa lienee m��ritell�
systeemin oikea puoli (vektori)funktioksi, jolloin laskeminen on pelkk��
riemua!
Esim:
\begin{verbatim}
>> F=inline('[-y(1)+y(2);-y(1)-y(2)]','y')
>> h=0.2;
>> y0=[0;4]
>> y1=y0+h*F(y0)
...
\end{verbatim}

%My�hemmin n�emme, miten Euler kirjoitetaan oikeaksi Matlab-
%funktioksi.

\textbf{Klassinen Runge-Kutta (RK4)}

$$
\begin{cases}
k_1=h \f(t_n,\y_n)\\ 
k_2=h \f(t_n+{\frac{h}{2}},\y_n+{\frac{k_1}{2}})\\
        k_3=h \f(t_n+{\frac{h}{2}},\y_n+{\frac{k_2}{2}})\\
        k_4=h \f(t_n+h,\y_n+k_3) \\
       \y_{n+1}=\y_n+ {\frac{1}{6}}(k_1+2 k_2 + 2 k_3 + k_4) \end{cases}
$$
GKV$=O(h^4)$


\item
Teht�vi� lineaaristen faasitasoista, jotka yo. tyyppi�. "Ratkaise analyyttisesti" ja vertaa numeeriseen.


\item %2
Tarkastellaan alkuarvoteht�v�� $\y'=A \y,\ \ \y(0)=\lbrack 3,6\rbrack^T,$
miss�
$$ A= \left[ \begin {array}{cc} 3&-2\\\noalign{\medskip}5&-4\end {array}
 \right] 
$$

(a) Ratkaise alkuarvoteht�v� tarkasti.\\
(b) Muodosta numeerinen likiarvo pisteess� $t=0.2$ laskemalla kaksi askelta 
Eulerin menetelm�ll� askelpituudella $h=0.1.$ \\
(c) Muodosta numeerinen likiarvo pisteess� $t=0.2$ laskemalla yksi askel
Heunin menetelm�ll� askelpituudella $h=0.2.$\\
(d) Kumpi tapa tuottaa tarkemman likiarvon?

Huom! Virhett� voit mitata vaikka tavallisella euklidisella normilla, tai
esim. komponenttien erotusten itseisarvojen maksimilla.


\hrule
{\tt [KRE]} 3.3 -- 3.6 ja CH 19 DY-numeriikkaa \\
L-sivulla pieni pruju numeerisista DYS-menetelmist� (tulee).\\
\verb_ http://math.rice.edu/~dfield/_
\matl-ohjelma {\tt pplane7.m}. Moni teht�v� saa aivan uutta hohtoa sit� k�ytt�en.\\
K�ytt�: Sijoita {\tt pplane7.m}-tiedosto johonkin, k�ynnist� \matl\ ja mene
\matl:n {\tt cd}-komennolla ``sinne johonkin''. Sitten vain kirjoitat \matl-
komennon: {\tt pplane7}. (Versiossa $7$ eiv�t n�k�j��n kaikki piirteet toimi,
mutta hupia ja hy�ty� siit� on niinens�kin.)\\
Huom! Jos piirto punaisella v�rill� jatkuu ja jatkuu, kannattaa painaa stop-
painiketta. Esim. (melkein) jaksollisen ratkaisun tapauksessa laskenta saattaa
jatkua ikuisuuden. 

\hrule








\item
Ratkaise alkuarvoteht�v� $\y' = A\,\y,\ \ \y(0)=\left[2,3\right]^T$,\\
$A=\left[ \begin {array}{cc} 1&-1\\\noalign{\medskip}9&-5\end {array} \right].$
\qquad
Vast: $\y(t)=e^{-2\,t}\left[ \begin {array}{c} 2+3\,t\\\noalign{\medskip}3+9\,t\end {array} \right] 
$\\
Vihje: Degeneraatiotapaus, Vrt. KRE s. 168, exa 6




\end{enumerate}

\subsubsection*{Loppuviikko}

\begin{enumerate}

\item 
Muodosta yleinen ratkaisu yht�l�lle $\y' = A\, \y,$ \\ 
kun 
$A= \left[ \begin {array}{cc} -3&2\\\noalign{\medskip}-1&-1\end {array} 
\right]$

Kirjoita ratkaisu ensin kompleksimuodossa ja siirry sitten reaaliseen.
Kuvaile trajektorien muoto ja k�yt�s (vaikka stabiilisuutta ajatellen).

Vast: $\y(t)={\it c_1}\,{e^{ \left( -2+i \right) t}} \left[ \begin {array}{c} 1-i
\\\noalign{\medskip}1\end {array} \right] +{\it c_2}\,{e^{ \left( -2-i
 \right) t}} \left[ \begin {array}{c} 1+i\\\noalign{\medskip}1
\end {array} \right] ={\it c_1}\,{e^{-2\,t}} \left[ \begin {array}{c} \cos \left( t \right) +
\sin \left( t \right) \\\noalign{\medskip}\cos \left( t \right) 
\end {array} \right] +{\it c_2}\,{e^{-2\,t}} \left[ \begin {array}{c} 
\sin \left( t \right) -\cos \left( t \right) \\\noalign{\medskip}\sin
 \left( t \right) \end {array} \right] 
 $ (Voidaan kirjoittaa my�s mm. "matriisitulomuotoon")


\item
M��rit� yht�l�n $\y' = A\, \y$ yleinen ratkaisu,\\ kun $A=
 \left[ \begin {array}{ccc} 0&1&1\\\noalign{\medskip}1&0&1
\\\noalign{\medskip}1&1&0\end {array} \right].$\quad
P��ttele matriisia p��lt�p�in katselemalla, ett� ratkaisu onnistuu suoraviivaisesti.

M��rit� $y_1\,y_2\,y_3-$avaruuden taso, jolla sijaitsevat l�ht�pisteet l�henev�t $\mathbf{0}$:aa, kun $t\to \infty.$  Mink�laisia k�yri� t�ss� tasossa 
sijaitsevat trajektorit ovat? Ent� miten k�y niille pisteille, jotka ovat
t�m�n tason ulkopuolella?

Annetaan ominaisarvot: $2,-1,-1$ ja arvoa $2$ vastaava ominaisvektori: 
$\lbrack 1,1,1\rbrack^T$


\item %1
Muunna seuraavat differentiaaliyht�l�t/ryhm�t 1. kertaluvun ryhmiksi.
(Tarkoitus {\bf ei ole} yritt�� ratkaista.)

(a) $y''' + e^t y' + y=0$, \quad (b) $y'' + k \sin y = 0$ (heiluriyht�l�),
\\ (c) 
 $\begin{cases}
     y_1''-y_1'-2y_1=t^2 \\
     y_2''-y_2-3y_1=0 
    \end{cases}$

Huomaa, ett� (a) ja (c) ovat lineaarisia, 
sensijaan (b) on ep�lineaarinen, joten sille on turha etsi� matriisia.


\item
M��rit� vapaan vaimennetun v�r�htelyn:
$$y''+{\frac{c}{m}}y'+{\frac{k}{m}}y=0$$
kriittisen pisteen (0,0) luonne tapauksissa 

a) ei vaimennusta, $c=0$, \quad b) alivaimennus, $c^2 < 4m k$, \rv
c) kriittinen vaimennus, $c^2 = 4 m k$, \\ d) ylivaimennus, $c^2 > 4 m k$.

%Vapaaehtoinen kertaus: Ratkaise teht�v� my�s "vanhalla tyylill�"\/ sijoittamalla
%siihen suoraan yrite $y=e^{\lambda \, t}.$

Ohje: Kirjoita yht�l� ensin 1. kl. systeemiksi. 
%K�yt� mieluummin merkint�j�
%$tr(A)$ ja $det(A)$ kuin {\tt KRE-}kirjan $p$ ja $q$ .
Esit� perustelut ominaisarvojen tyyppien nojalla. Niiden selvitt�misess�
voit (mutta ei ole pakko) laskemisen sijasta k�ytt�� toisen asteen yht�l�n 
juurien ominaisuuksia (vrt. KRE luku 3.4). 
Perusteluiksi ei kelpuuteta (nyt eik� kokeessa) ulkoa tai sis�lt� 
pamitettuja "pq-ehtoja"\/
KRE-kirjan tyyliin, jos niiden yhteys ominaisarvoihin on kadoksissa!

\item
Ep�homogeeniyht�l�lle (EHY)
$\vec{y}' = A \vec{y} + \vec{g}, \ \ \vec{y}(0)=\vec{y}_0$
johdettiin ratkaisukaava:

$\y(t)=E(t)\vec{y}_0 + \int_0^t E(t-s)\vec{g}(s) ds .$ %(tulee konvoluutio mieleen, eik� vaan?)

Vektorifunktion integrointi tarkoittaa yksinkertaisesti integrointia
komponenteittain.

T�ss� $E(t)$, jolle k�ytet��n my�s merkint�� $e^{At}$
tarkoittaa homogeeniyht�l�n (HY) ns. perusmatriisia, ts. matriisia,
jonka sarakkeina on (HY):n LRT ratkaisufunktiot ja jolle $E(0)=I$ 
(yksikk�matriisi).

Ratkaise (EHY) systeemi:

$$\vec{y}'=\left [\begin {array}{cc} 1&-1\\\noalign{\medskip}9&-5\end {array}
\right ] \vec{y} + \left [\begin {array}{c} t\\\noalign{\medskip}1\end {array}
\right ],\ \ \vec{y}(0)=(1,-1) $$

Huomaa, ett� (HY) on sama kuin  AV teht. 4.

\item %2
M��rit� systeemin
$$\begin{cases}
        % \dot x=x-x^2+2y+3 \\
         %\dot y=-x+2y 
    x'=x-x^2+2y+3 \\
    y'=-x+2y 
\end{cases}$$
kriittiset pisteet.

Linearisoi systeemi kunkin kriittisen pisteen suhteen ja m��rit� niiden luonne
sek� hahmottele faasikuvaa.

%Ratk. Jeffrey s. 579--580


\end{enumerate}

\hrule

\textbf{Oppia, ohjeita:}

\textbf{Trajektori} tarkoittaa vain sit�, ett� piirret��n $y_1\,y_2-$tasoon pisteit� $(y_1(t_1),y_2(t_1)), (y_1(t_2),y_2(t_2)), \ldots$. N�ist� pisteist� 
$(y_1(t),y_2(t)),$ $t:$n juostessa l�pi reaaliarvoja, muodostuu tuo faasitasok�yr�, eli trajektori. 

\subsubsection*{Lineaaristen $2\times 2-$systeemien faasitasoluokitus}



Ominaisarvot $\lambda_1, \lambda_2$. Tyyppikuvaus ja stabiilisuus viittaavat
kriittiseen pisteeseen, joka lineaarisella homogeenisella on $\vec{0}$.
(Jos $A$ on singulaarinen, niin kaikki $N(A)$:n pisteet ovat kriittisi�
pisteit�, mutta alla olevassa luokittelussa t�m� suljetaan pois (ts.
ominaisarvo $0$ on suljettu pois).

%\begin{itemize}
\quad - Samanmerkkiset $\implies$ {\em noodi}, jos $<0,$ niin {\em nielunoodi},
(vahvasti) stabiili, jos $>0,$ niin {\em l�hdenoodi}, ep�stabiili,
Trajektorit voivat n�ytt�� potenssifunktiomaisilta erilaisin potenssein
(riippuu ominaisarvojen suhteesta), erikoistapauksessa voivat olla jopa s�dekimppu. K�yt�st� voisi ehk� kutsua yleistetyn "paraabelimaiseksi"\\
\quad -  Erimerkkiset $\implies$ {\em satula}, ep�stabiili.
Sama potenssik�yt�s kuin edell�, nyt "hyperbelim�isesti"
\quad -
Vain yksi ominaisvektori $\implies$ {\em degeneroitunut noodi}, jos 
ominaisarvo $\lambda<0,$ nielu (stabiili) ja jos $\lambda >0,$ niin l�hde, 
ep�stabiili. Trajektori eiv�t ulkon��lt��n paljon eroa noodityylist�.\\
\quad -
Puhtaasti imaginaariset ominaisarvot ($\pm b i$), {\em keskus}, heikosti
stabiili. Trajektorit ellipsej�.\\
\quad -
Kompleksiset ominaisarvot $\lambda=\alpha \pm i \beta$, {\em l�hdespiraali},
jos $\alpha>0$, ep�stabiili, ja {\em nieluspiraali}, jos $\alpha<0$,
stabiili. Trajektorit elliptisi� spiraaleja.

%\end{itemize}

{\bf Linearisointi:} 

Olkoon DYS 
$\begin{cases}
x' = f(x,y)\\
y' = g(x,y).
\end{cases}
$
ja olkoon $(a,b)$ kriittinen piste (KRP), ts. $f(a,b)=g(a,b)=0.$\\
Pisteess� $(a,b)$ linearisoitu systeemi tarkoittaa systeemi�\\
 $\left[ \begin {array}{c} u'\\\noalign{\medskip}v'\end {array} \right] =
A\,  \left[ \begin {array}{c} u\\\noalign{\medskip}v\end {array}
 \right],$ miss� $u=x-a,\ \ v=y-b$ ja $A$ on Jacobin matriisi:

$A = J_F(a,b) = \left[ \begin {array}{cc} {\frac {\partial }{\partial x}}f \left( x,y \right) &{\frac {\partial }{\partial y}}f \left( x,y \right) 
\\\noalign{\medskip}{\frac {\partial }{\partial x}}g \left( x,y
 \right) &{\frac {\partial }{\partial y}}g \left( x,y \right) 
\end {array} \right] 
 $

%tapahtuu laskemalla kriittiset pisteet (KRP).
%Jos $ {\bf p_0}$ on KRP, niin linearisoidun systeemin matriisi 
%on 
%diff.yht�l�n m��rittelev�n (vektoriarvoisen) funktion ${\bf f}$
%Jacobin matriisi 
%$({\frac {\partial}{\partial y_{{j}}}}f_{{i}}(y_1,...y_n)))$


Jos linearisoidun systeemin O:n luonne on keskus 
(ominaisarvot puhtaasti
imaginaariset), se ei v�ltt�m�tt� kerro alkuper�isen ep�lineaarisen
systeemin KRP:n luonnetta. Muissa tapauksissa ($\Re(\lambda)\neq 0$)
sensijaan kertoo. 



{\bf Matlab-ohjelma} {\tt pplane7} (tai pplane6 tms. vanhemmalle Matlab-versiolle), kts teht�v�paperin alussa olevat viitteet),  on helppok�ytt�inen ja 
havainnollinen-ohjelma faasitasopiirroksiin. Tarvitsee vain kopioida
tiedosto Matlabpolun varrelle ja antaa Matlabissa komento \\ 
\verb_>> pplane7_,
joka avaa graafisen k�ytt�liittym�n. Mit��n muuta \matl-osaamista ei tarvita.
Ei toimi Octavessa.\\
%Ohjelma liittyy kirjaan {\it Golubitsky--Dellnitz: Linear Algebra and Differential Equations}, koodin on kirjoittanut {\it John Pohlking}.\\
%\textbf{Huom:} T�ss� koodissa on yli 1000 rivi� Matlabin GUI-ohjelmakoodia, jollaista 
%mahdollisuutta ei ilmaisissa ohjelmissa, kuten Octave ole. Ei siis toimi
%Octavessa.



\end{document}





M��rit� matriisin $A=
\left[ \begin {array}{cc} 3&-2\\\noalign{\medskip}1&-1\end {array} \right]
$
ominaisarvot ja -vektorit. Piirr� koordinaatistoon ominaisvektorit $\v_1$ ja
$\v_2$ sek� $\lambda_1\,\v_1$ ja $\lambda_2\,\v_2$.

\item
M��rit� matriisin $A=
\left[ \begin {array}{ccc} 4&0&1\\\noalign{\medskip}-2&1&0\\\noalign{\medskip}-2&0&1\end {array} \right]
$
ominaisarvot ja suurinta ominaisarvoa vastaavan ominaisavaruuden kanta(vektori). Tarkista, ett� ominaisarvo/vektori-m��ritelm�n ehto toteutuu.

Neuvo: Kehit� determinantti sen rivin/sarakkeen suhteen, jossa on eniten nollia. \\
Vast: Kysytty ominais(kanta)vektori: $\lbrack -1, 1, 1\rbrack^T$


\item
M��rit� $h$ matriisissa $A = \left[ \begin {array}{cccc} 5&-2&6&-1\\\noalign{\medskip}0&3&h&0\\\noalign{\medskip}0&0&5&4\\\noalign{\medskip}0&0&0&1\end {array}
 \right] $ niin, ett� ominaisarvoa $\lambda=5$ vastaava ominaisavaruus on $2-$ulotteinen. Mit� voit t�ll�in sanoa t�m�n ominaisarvon algebrallisesta kertaluvusta, ja
mink�lainen tekij� siis esiintyy karakterisitisessa polynomissa?



\item %2
M��rit� seuraavien lineaarikuvausten ominaisarvot ja -vektorit laskematta, pelk�n geometrisen kuvailun
perusteella.
\begin{itemize}
\item[(a)] Peilaus $y$-akselin suhteen tasossa $\R^2$,
%\item[(b)] Venytys $\R^3$:ssa tekij�ll� $4$, 
\item[(c)]
Matriisilla
$A= \left[ \begin {array}{cc} 0&2\\\noalign{\medskip}2&0\end {array}
 \right] 
\ \ $ kertominen.
\item[(c)] Heijastus $yz$-tason suhteen $\R^3$:ssa.
\item[(d)] Kohtisuora projektio y-akselille $\R^2$:ssa.
\end{itemize}
(Laskeminen LV-teht�v�ksi)


\item
M��rit� matriisin $A=
 \left[ \begin {array}{cc} 1&-2\\\noalign{\medskip}1&3\end {array}
 \right] $
ominaisarvot ja -vektorit.\\
Ohje: Kompleksitapauksessa on erityisen hy�dyllist� huomata, ett� $2\times 2-$
matriisin ominaisvektori m��r�ytyy suoraan jommasta kummasta yht�l�st�, ei siis
tarvita rivioperaatioita. (Kts. my�s yleisi� ohjeita.)





\item
Matriisilla $A= \left[ \begin {array}{ccc} 2&2&1\\\noalign{\medskip}1&3&1
\\\noalign{\medskip}1&2&2\end {array} \right] 
$
on kaksinkertainen ominaisarvo $\lambda=1$.
M��rit� sit� vastaavan ominaisavaruuden kanta.
%Laskematta mit��n lis�� p��ttele, onko matriisi diagonalisoituva vai ei.
\\
Mitk� ovat ominaisarvojen algebralliset kertaluvut $M_\lambda$
ja geometriset $m_\lambda$? \\
Vihje: Toista ominaisarvoa ja vastaavaa ominaisvektoria ei tarvitse laskea
(ellet v�ltt�m�tt� halua).

\end{enumerate}


\subsubsection*{Loppuviikko (7)}

\begin{enumerate}
\item
Laske AV-teht�v�n 4 ominaisarvot. 
%Kun luet ohjeet, saat osan laskuty�st� "ilmaiseksi".


\item
Stokastinen matriisi $P$ tarkoittakoon sellaista, jonka alkiot ovat 
ei-negatiivisia
ja sarakesummat $=1$. \footnote{KRE-kirjassa otetaan rivisummat $=1$.}
Osoita, ett� $1$ on aina $P$:n ominaisarvo.\\
%Esimerkkin� edellisen teht�v�n matriisi)\\
Vihje: V�ite on helppo osoittaa transposille $P^T$, ajattele ominaisvektorin
m��ritelm�� ja mit� saat, jos kerrot $P^T$:ll� vektorin
$\lbrack 1,1,\ldots, 1\rbrack$.

\item
Er��ss� valtiossa pidettiin parlamenttivaalit kolmen puolueen $P_1,\ \ P_2,\ \
 P_3$ kesken. Puolueiden kannatusosuuksien viikoittaista muutosta vaaleja edelt�v�n puolen vuoden aikana kuvaa
siirtym�matriisi
$P=
\left[ \begin {array}{ccc}  0.7& 0.1& 0.1\\\noalign{\medskip} 0.2& 0.8& 0.2\\\noalign{\medskip} 0.1& 0.1& 0.7\end {array} \right]$.

(a) M��rit� matriisin suurinta ominaisarvoa vastaava ominaisvektori
ja p��ttele, mit� rajaosuuksia kannatusluvut l�hestyv�t, kun viikkom��r�
kasvaa (t�ss� ei p��st� ��rett�myyteen, mutta raja-arvo antaa riitt�v�n
tarkan approksimaation).

(b) Kokeile joillain alkujakaumilla $\mathbf{x_0}$ (siis "todenn�k�isyysvektoreilla", eli
sellaisilla, joiden summa $=1$ (tai $100$)) ja laske
$x_1 = P\, x_0$ , $x_2 = P\, x_1,\ \ \ldots ,$   
K�yt� ihmeess� Octavea/Matlabia! Miten nopeasti p��set l�helle raja-arvoa?
\item
(a) Osoita,
ett\"a  jos $\lambda$ on $A$:n ominaisarvo ja $\Ve{x}$ vastaava ominaisvektori, niin $\lambda^k$ on $A^k$:n ominaisarvo,
ja samainen $\Ve{x}$ on vastaava ominaisvektori.

(b) Oletetaan, ett\"a $A$ on k\"a\"antyv\"a. 
Osoita, ett\"a $\lambda^{-1}$ on $A^{-1}$:n
ominaisarvo ja \Ve{x} siihen liittyv\"a ominaisvektori (yht� hyvin $A x$).
Mist\"a tied\"at, ett\"a $\lambda \ne 0$?


%(c) Osoita, ett� reaalisen matriisin kompleksiset ominaisarvot ovat pareittain toistensa liittolukuja.

Vihje: (a): Tarvitset vain m��ritelm��. \\
Mieti (b)-kohdan loppukysymyksess�: Mit� merkitsee k��ntyvyyteen n�hden, jos ominaisarvo on $0$ ? Ajattele vaikkapa 
homogeeniyht�l�n ratkaisuja tms.  \\






%\item
%(a)
%Osoita, ett� jos $A$ on sek� diagonalisoituva ett� k��ntyv�, niin my�s
%$A^{-1}$ on diagonalisoituva\\
%(b) 
%Osoita, ett� jos $n\times n$-matriisilla $A$ on $n$ {\tt LRT} ominaisvektoria,
%niin sama p�tee transposille $A^T.$


\item
%$A=
%\left[ \begin {array}{cc} 8&-1\\\noalign{\medskip}5&2\end {array} \right]
%$
P��ttele matriisia 
$A= \left[ \begin {array}{ccc} 2&2&1\\\noalign{\medskip}0&1&2
\\\noalign{\medskip}0&0&-1\end {array} \right]$
katsomalla, ett� se on diagonalisoituva,
ja laske diagonalisointiesityst� hy�dynt�en $A^6.$\\
Ohje: Ominaisvektorimatriisi on my�s kolmiomuotoinen, joten k��nteismatriisi
saadaan parilla hassulla "alhaalta yl�s" rivioperaatiolla. Matriisioperaatioihin (kuten kertolaskuihin) saat toki mieluusti k�ytt�� ohjelmia tai muuta 
"matriisilaskinta".

\item

(a) Olkoon $A$ $5\times 5$-matriisi, jolla on kaksi erillist� ominaisarvoa.
Toinen ominaisavaruus on 2- ja toinen 3-ulotteinen. Onko $A$ diagonalisoituva?

(b) 
Olkoon $A$ $3\times 3$-matriisi, jolla on kaksi erillist� ominaisarvoa.
Kumpaankin liittyv� ominaisavaruus on 1-ulotteinen. (Eli kummankin geometrinen
kertaluku $=1$. Onko $A$ diagonalisoituva?

(c)
Olkoon $A$ $4\times 4$-matriisi, jolla on kolme erillist� ominaisarvoa.
Yhden geometrinen kertaluku $=1$ ja yhden taas $2$. Onko mahdollista,
ett� $A$ ei ole diagonalisoituva?

(d)
Olkoon $A$ $7\times 7$-matriisi, jolla on kolme erillist� ominaisarvoa.
Yhden geometrinen kertaluku $=2$ ja toisen $=3$. Onko mahdollista,
ett� matriisi ei ole diagonalisoituva?





\end{enumerate}

\subsubsection*{Ohjeita, ominaisarvo-oppia}

\begin{itemize}
\item
\textbf{Ominaisarvo} on luku, se voi olla kompleksiluku, vaikka matriisi olisi reaalinen. 
\item
\textbf{Ominaisvektori} on (reaalisen matriisin tapauksessa) $\R^n$:n tai $\C^n$:n vektori sen mukaan,
onko vastaava ominaisarvo reaalinen vai kompleksinen.
\item Ominais{\bf arvo saa} aivan mainiosti {\bf olla $0$}, ominais{\bf vektoriksi emme hyv�ksy nollavektoria}.
\item Ominaisarvoon $\lambda$ liittyv� {\bf ominaisavaruus} $E_\lambda$ 
koostuu kaikista $\lambda$:aan liittyvist� ominaisvektoreista
ja lis�ksi nollavektorista. T�ll�in kyseess� on vektori(ali)avaruus, nimitt�in matriisin $A-\lambda I$
nolla-avaruus, $N(A-\lambda I)$. %, jota merkitsemme $E_\lambda$.
\item
Ominaisarvon $\lambda_j$ {\bf algebrallinen kertaluku} $M_{\lambda_j}$ on
karakteristisen polynomin $\det(A-\lambda I)$ juuren kertaluku. 
{\bf Geometrinen kertaluku} $m_{\lambda_j}$ on $\dim(E_{\lambda_j}).$\\
P�tee: $m_{\lambda_j} \leq M_{\lambda_j}$


\item
Jos reaalisella matriisilla $A$ on \textbf{kompleksinen} ominaisarvo 
$\lambda=\alpha + i\,\beta,$ niin my�s  $\overline{\lambda}=\alpha-i\,\beta$
on $A:$n ominaisarvo. Jos $\mathbf{v}$ on $\lambda:$aa vastaava ominaisvektori, niin liittolukua $\overline{\lambda}$ vastaava ominaisvektori on 
$\overline{\mathbf{v}}.$ (Tarkoittaa vektoria, jonka koordinaatit ovat $\mathbf{v}:$n koordinaattien liittolukuja.) 

\item
Jos on m��r�tt�v� diagonaalimatriisin ominaisarvot ja -vektorit, niin laskentaty�t� ei j�� lainkaan.
�l� siis suotta ryhdy veivaamaan $\det(A - \lambda I)$:n kautta. 
(Koko ominaisarvohomman perustavoite
on saattaa lineaarikuvauksen matriisi diagonaalimuotoon. Jos se jo on, niin mit��n ei tarvitse
en�� tehd�, kunhan osaat siit� lukea.) \\

\item
Kolmiomatriisin (yl�- tai ala-) ominaisarvot ovat diagonaalialkiot.
(Siis yleistys edelliselle, t�ss� tapauksessa ominaisvektoreista ei
voida sanoa mit��n yleist�.)

\item
Kun pyydet��n laskemaan johonkin ominaisarvoon liittyv�t ominaisvektorit, on sopivaa antaa vastaukseksi
ominaisavaruuden kanta. 
Helpoimmin se saadaan antamalla ratkaisun 
vapaille muuttujille vuorollaan arvot ( $1,0,0$) ,  ($0,1,0$) , ($0,0,1$) 
(jos kyseess� on 3-ulotteinen ominaisavaruus). T�ss�h�n on kyse nolla-avaruuden kannan m��r��misteht�v�st�.
%(Jos yht��n vapaata muuttujaa ei ilmaannu, olet tehnyt laskuvirheen, miksi?)

\item
Eri ominaisarvoihin liittyv�t ominaisvektorit ovat {\tt LRT}.

\item
Diagonalisointi: Annettu $A$. Etsitt�v�, jos mahdollista, matriisit $V$ ja $D$,
$V$ k��ntyv� ja $D$�diagonaalimatriisi siten, ett� $A = V D V^{-1}$.\\
Jos teht�v�n� on diagonalisoida $A$, etsit��n matriisit $V$ ja $D$ ja 
perustellaan $V$:n k��ntyvyys. 
(Yleens� ei vaadita $V^{-1}$:n laskemista ilman eri kehoitusta, tai jatkoteht�v�n asettamaa tarvetta.)

\item
Octave/Matlab-komentoa \texttt{eig} kannattaa k�ytt�� ainakin tarkistukseen.
Muoto \verb_[V,D]=eig(A)_ antaa suoraan diagonalisointimatriisit: $V:$n sarakkeina ominaisvektorit ja $D:$n diagonaalilla (samassa j�rjestyksess�) 
ominaisarvot. Jos $A$ on diagonalisoituva, niin $V:$n sarakkeet ovat LRT, jolloin voidaan muodostaa $V^{-1};$ Matlab/Octavella: \texttt{inv(V)}.
\end{itemize}


\end{document}





\item
Ajatellaan, ett� er��n asutuskeskuksen asukkailla on kahden operaattorin,
R ja S matkapuhelinliittymi�. 
%\footnote{Laskuty�n rajoittamiseksi joudumme j�tt�m��n 
%mm. operaattorin T pois.}
Liittymien vaihtoa kuukaudessa edustakoon
siirtym�matriisi

$$P=
\left[ \begin {array}{cc}  0.6& 0.3\\\noalign{\medskip} 0.4& 0.7
\end {array} \right].
$$

\footnote{Siirtym�matriisi esitet��n transponoituna KRE-kirjan vastaavaan
n�hden.}

T�ss� sarakkeet tarkoittavat {\it elatiivia} (sta) ja rivit 
{\it illatiivia} (aan).
1. sarake ja 1. rivi viittaavat R:aan, 2. vastaavasti S:aan.



(a)
Laske matriisin ominaisarvot ja %suurempaa ominaisarvoa vastaava
ominaisvektorit ja totea, ett� ne muodostavat $\R^2$:n kannan.

%$\V{v}_1$ ja kerro, miksi ominaisvektorit muodostavat 
%$\R^2$:n kannan.

(b) 
Olkoon alkuhetkell� liittymien m��r�t $\vec{x}_0 = 
\lbrack R,S\rbrack = \lbrack 1000, 1500 \rbrack$.
Laske m��r�t vuoden kuluttua (Matlabilla) tai parin kolmen kuukauden 
kuluttua, jos k�sin haluat laskea.

(c)
Lausu alkupiste $\Ve{x}_0$  ominaisvektorikannassa:
$\Ve{x}_0=c_1 \Ve{v}_1+ c_2 \Ve{v}_2$.

Mit� rajavektoria l�hestyy jono $\Ve{x}_k$, kun $k\to \infty$ ?

Ylim��r�inen pohdinta: Riippuuko rajavektorin komponenttien suhde alkuarvosta
$x_0$ ?


%(b) 
%Tarkastellaan iteraatiota $\V{x}_{k+1}=P \V{x}_k, k=0,1,\ldots$.
%Olkoon alkupiste $\V{x}_0$ esitetty ominaisvektorikannassa:
%$\V{x}_0=c_1 \V{v}_1+ c_2 \V{v}_2$.

%Mit� rajavektoria l�hestyy jono $\V{x}_k$, kun $k\to \infty$ ?


%Esit� sitten alkupistevektori (vaikkapa)
%$\V{x}_0=
% \left[ 
%    \begin {array}{c} 0.5\\
%    \noalign{\medskip}0.5
%\end {array} 
%\right]$ 
%ominaisvektorikannan avulla, ja selvit�, mihin tilanne asettuu, kun monta
%kuukautta on kulunut.


%\item 
%Matriisilla 
%$A$ on ominaisarvot $\lambda_1=2$, $\lambda_2=4$, $\lambda_3=6$.
%Vastaavat ominaisvektorit ovat
%$$x_1=(1,0,1)^T, x_2=(1,1,0)^T, x_3=(0,1,1)^T .$$
%M\"a\"arit\"a $A$. Lupaus: K��nteismatriisin saat laskea Matlab:lla (tms.).

\item %2
(a)
Totea, ett� matriisi
$A=
\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\\noalign{\medskip}0&\cos \left( 
\phi \right) &-\sin \left( \phi \right) \\\noalign{\medskip}0&\sin
 \left( \phi \right) &\cos \left( \phi \right) \end {array} \right]
$
on ortogonaalinen.

(b) Kuvaile $A$:n m��r��m�n lineaarikuvauksen toiminta geometrisesti.

(c) M��rit� $A$:n ominaisarvot ja -vektorit, ja tarkista, ett� niill� on ortogonaaliselle
matriisille asiaankuuluvat ominaisuudet.

Huom! Reaalisen ominaisarvon ja -vektorin voit p��tell� kuvauksesta suoraan, laskematta.

\item %3
(a)
Esit� symmetrinen matriisi 
$A=
\left[ \begin {array}{cc} 8&6\\\noalign{\medskip}6&8\end {array}
 \right]
$
Muodossa $A=P D P^{T},$ miss� $D$ on diagonaalimatriisi ja $P$ ortogonaalinen

(b) Oletetaan, ett� symmetrisell� $3\times3$-matriisilla on kaksi erisuurta ominaisarvoa.
Lause sanoo, ett� symmetrisen matriisin ominaisarvojen algebrallinen ja geometrinen kertaluku on sama.
Selit�, miten muodostat (a)-kohdan tyylisen ortogonaalisen diagonalisoinnin.

Vihje: Saat pit�� tunnettuna\emph{Gram--Schmidt'n,} 
ortogonalisointimenettely�, jonka mukaan mielivaltainen sis�tuloavaruuden {\tt LRT}
vektorijoukko voidaan ortogonalisoida, siis muodostaa sen viritt�m�lle
aliavaruudelle ortonormali kanta. Mieti geometrisen mallikuvan avulla,
miten 1. askel teht�isiin tason vektoreille, idea riitt��.


\item %4
%Tarkastellaan matriisin $A$ m��r��m
Olkoon $A=
 \left[ \begin {array}{cc} 3/2&1/\sqrt {2}\\\noalign{\medskip}
1/\sqrt{2}&1\end {array} \right]. 
$
M��rit� $A$:n m��r��m�n lineaarikuvauksen p��akselien suunnat ja venytys/kutistuskertoimet.
Hahmottele yksikk�ympyr�n kuvaellipsi k�sin. \\
(``Vapaaehtoisesti'' saat toki mieluusti piirt�� my�s 
 \matl:lla, malli {\tt .../L/ominarvot.pdf}.)

\item
(a)
Mit� tyyppi� ovat matriisit ja mit� sill� perusteella
voidaan jo p��lt�p�in sanoa ominaisarvoista?

 $A=\left [\begin {array}{cc} 0&1\\\noalign{\medskip}-1&0
\end {array}\right ]$
 $B=\left [\begin {array}{cc} {\frac {i}{2}}&{\frac {\sqrt 
{3}}{2}}\\\noalign{\medskip}{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{
\frac {i}{2}}\end {array}\right ]$
 $C=\left [\begin {array}{cc} {\frac {\sqrt {3}}{3}}&{
\frac {i\sqrt {6}}{3}}\\\noalign{\medskip}-{\frac {i
\sqrt {6}}{3}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\end {array}
\right ]$ \\
(b)
Laske ominaisarvot ja -vektorit, saat (mutta ei ole pakko) k�ytt�� 
\matl:n {\tt eig}- komentoa tyyliin \texttt{[V,D]=eig(A)} (kts. 
\texttt{help eig}.)

\end{enumerate}

\subsubsection*{Matlab-ohjeita}

%\begin{itemize}

%\item

\textbf{Ominaisarvot ja diagonalisointi}

Esim: 
\begin{verbatim}
>> A=[3 -3 2;-1 5 -2;-1 3 0]; 
>> [V,D]=eig(A)
\end{verbatim}
Nyt $V:$n sarakkeina ovat $A:$n ominaisvektorit, $D$ on diagonaalimatriisi, jossa vastaavilla kohdilla ovat $A:$n ominaisarvot.\\
Mik�li $V$ on k��ntyv�, saadaan suoraan $A:$n diagonalisointi, kun lasketaan viel� \texttt{Vinv=inv(V)}. ($V$ on k��ntyv� $\iff$ $A$ on diagonalisoituva.)

\matl\/ normeraa ominaisvektorit yksikk�vektoreiksi. Jos haluat mukavammann�k�isi� lukuja, saatat saada sen aikaan (n�iss� pikkuleluteht�viss�) 
jakamalla esim. ko. vektorin ensimm�isell� komponentilla, vaikka t�h�n tapaan:
\begin{verbatim}
>> v1=V(:,1); v1=v1/v1(1) 
>> v2=V(:,2); v2=v2/v2(1) 
>> v3=V(:,3); v3=v3/v3(1)  % T�ss� ei auta.
\end{verbatim}

Kaiken voit hoitaa yhdell� kertaa kertomalla oikealta diagonaalimatriisilla, jossa ovat diagonaalilla ao. k��nteisluvut, kas n�in: \\
\texttt{V*diag(1./V(1,:))}



%\end{itemize}




Hyl�tyt:

\item
Olkoot matriisin $A$ ominaisarvot $\lambda_1=2,\lambda_2=-1, \lambda_3=-2$
ja vastaavat ominaisvektorit $v_1=[2,1,1],\ \ v_2=[-1,1,1],\ \ v_3=[0,-1,1]$.
M��rit� $A^{-1}$. 
%A=\left [\begin {array}{ccc} 1&1&1\\\noalign{\medskip}1
%&-1&1\\\noalign{\medskip}1&1&-1\end {array}\right 

Matriisialgebraan ja k��nteismatriisiin saat k�ytt�� Matlabia.



\item{\bf K} (max 3 p.) 
%(Parity�ss� kaikki kohdat, yksil�ty�ss� riitt�� kaksi.)
Mit� kartioleikkausta edustavat seuraavat yht�l�t.
(a) {$x_1^2+24x_1x_2-6x_2^2=5$}
(b){$3x_1^2+4\sqrt{3}x_1x_2 + x_2^2=9$}
(c){$x_1^2+6x_1x_2+9x_2^2=10$}

Muunna yht�l� p��akselimuotoon ja piirr� kuva. Ota mallia {\tt KRE}
Exa 6 s. 412 ja {\tt /p/edu/mat-1.443/teht/paakseli.mws}. Voit my�s
katsoa: {\tt http://www.math.hut.fi/teaching/y3/harj/tyo/heigen.html}

Muista: Hyperbelin luonteva parametriesitys on $x=a\cosh t,\ \ y=b\sinh t$
%ja paraabelinhan osaat.







\end{enumerate}




\end{document}
\item
M��rit� matriisin
$ A = \left[ \begin {array}{ccccc} -3&6&-1&1&-7\\\noalign{\medskip}1&-2&2&3
&-1\\\noalign{\medskip}2&-4&5&8&-4\end {array} \right] 
$
riviavaruuden row$(A)$ ja sarakeavaruuden col$(A)$ kanta sek� nolla-avaruuden
$N(A)$ dimensio.

\item
M��rit� edellisen teht�v�n nolla-avaruuden kanta.

\item
Olkoon $A$ k��ntyv� neli�matriisi. Osoita, ett� \\
(a) $A^2$ on k��ntyv� ja $(A^2)^{-1} = (A^{-1})^2$, \\
(b) $A^T$ on k��ntyv� ja $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$.

\item
Olkoon $A$ neli�matriisi, jonka kaikki p��l�vist�j�n alapuoliset alkiot
ovat nollia. (Sanotaan: $A$ on yl�kolmiomatriisi.)
Osoita, ett� det$(A)$ on p��l�vist�j�n alkioiden tulo. Osoita sama asia
my�s alakolmiomatriisille.

\item
Tason kierto kulman $\phi$ verran voidaan esitt�� kompleksitason kuvauksena 
$w=F(z)=e^{i\phi} z$, kuten hyvin tied�mme.
Kirjoita t�m�n (lineaari)kuvauksen matriisiesitys, ts. esit� $w=F(z)$ 
muodossa

$\vec{w}=A \vec{z},$ miss� $\vec{w}=\left[ \begin {array}{c} u\\\noalign{\medskip}v\end {array} \right] $ ja  $\vec{z} =\left[ \begin {array}{c} x\\\noalign{\medskip}y\end {array} \right] $


\item
Olkoon $T$ tason lineaarikuvaus itselleen, joka on yhdistelm� kahdesta kuvauksesta. Ensin suoritetaan tyyppi� ``horizontal shear'' 
(``vaakasuora leikkaus'') oleva, joka kuvaa yksikk�vektorin $\e_1$ itselleen 
ja $\e_2$:n
vektorille $\e_2 - 0.5\,\e_1$. Jatkoksi pannaan heijastus pystyakselin
($x_2-$akselin) suhteen.
M��rit� kuvauksen matriisi. \\
Ohje: Katso, miten kantavektorit $e_1$ ja $e_2$ kuvautuvat yhdistetyss� kuvauksessa. Tai: M��rit� kummankin kuvauksen matriisi ja kerro ne kesken��n.\\
Huvi \& hy�ty : Kokeile Matlab-piirtoa.


\end{enumerate}

\textbf{Ohjeita}


Teht�v�t 1 ja 2 menev�t samoilla rivioperaatioilla.
Muista, mik� ero on rivi- ja sarakeavaruuksien kannoilla. Syy t�h�n on se, ett�
rivioperaatioissa muodostetaan rivivektorien lineaarikombinaatiota, siis 
pystyt��n riviavaruudessa. Sensijaan \textbf{rivioperaatioissa ei} yleens� 
muodostu \textbf{sarakevektorien lineaarikombinaatioita}, eih�n!\\
Muista my�s, ett� vektoriavaruuden kanta on kaikkea muuta kuin yksik�sitteinen,
oikeita vastauksia on siis paljon.% tosin suosittelemallamme menetelm�ll� p��dyt��n samaan.

Teht�v� 2 ratkaistaan normaaliin tapaan merkitsem�ll� mielell��n vapaita
muuttujia vaikka $s,t,\ldots$. Kirjoitetaan ratkaisu muotoon $M$ kertaa
vapaiden muuttujien vektori, jolloin M:n sarakkeet ovat N(A):n kanta. (Tai 
kirjoitetaan suoraan muodossa $s\v_1 + t\v2+\ldots$ .)
Miksi ovat (aina) LRT?

Teht�v� 3:
K��nteismatriisille riitt�� toinen ehto $AX=I$ tai $XA=I$. T�m� johtuu
esim. siit�, ett� $r(A)=r(A^T)$ (joka on yksi "lineaarialgebran ihmeen" 
ilmenemismuoto).


Lineaarikuvaus m��r�ytyy kantavektorien kuvista. Matriisi peruskantojen
suhteen saadaan latomalla kantavektorien kuvat sarakkeiksi.

\textbf{Tason lineaarikuvaukset ja tietokonegrafiikka}

Monikulmio voidaan esitt�� 2-rivisen� matriisina, jonka sarakkeet edustavat
koordinaattipisteit�. Esim. Kolmio, jonka k�rjet ovat pisteiss� $(0,0),
(1,1),(1,-1)$ voitaisiin esitt�� matriisina
$T=\left[ \begin {array}{cccc} 0&1&1&0\\\noalign{\medskip}0&1&-1&0\end {array} \right].$

K�rkipisteet yhdistet��n janalla t�ss� j�rjetyksess�.
Matlab:ssa voidaan nyt piirt��: {\tt plot(T(1,:),T(2,:))}.
Jos t�h�n sovelletaan lineaarikuvausta, eli kerrotaan matriisilla $A$, saadaan
kuvan k�rkipisteet $S=AT.$ Matlabilla voitaisiin siten kirjoittaa
{\tt S=A*T; plot(S(1,:),S(2,:))}.\\
Lis�� aiheesta L-hakemiston LA3.html:ss�. Kokeile my�s:\\
{\tt http://math.tkk.fi/teaching/v/matlab/laode/map.m}. 
\end{document}
Kehittynyt interaktiivisen Matlab- ty�kalu: 
lineaarikuvausten havainnollistamiseen \\
{\tt http://math.tkk.fi/teaching/v/matlab/laode/map.m}. Aseta se Matlab-polkusi
varrelle (esim. {\tt addpath}-komennolla) ja sano {\tt map}.
(Kirjoittanut John Pohlking, University of Houston (?))

Maplella on my�s k�tev�� tehd� vastaavaa. Etuna erityisesti animaatioiden teon
helppous. Aiheeseen liittyvi� ty�arkkeja tulee L-sivulle.



\end{document}


Kun puhutaan lineaarisesta yht�l�systeemist� (tai -ryhm�st�) $A\,\x = \b,$
tarkoitetaan yleist� $m\times n-$ tilannetta, ellei toisin mainita.
\begin{enumerate}

\item
Miksi lineaarisella yht�l�systeemill� $A\,\x = \b$ ei voi olla 
tasan kahta ratkaisua? \\
Vihje: Voit vedota yleiseen {\tt LINSYS}-lauseeseen (jos haluat k�ytt��
raskasta kalustoa), voit my�s tanssia kepe�mmin pelkin lineaarisuuden
tarjoamin askelkuvioin tyyliin: ``ei kahta ilman kolmannetta''. \\
Kehoitus: Mieti my�s geometrista tulkinta 2- ja 3-ulotteisissa
tapauksissa.

\item
(a) Olkoon $3\times 5$ \emph{kerroinmatriisilla} $A$ kolme tukisaraketta.
Onko systeemi $A\,\x = \b$ konsistentti.\\
(b) Olkoon $3\times 6$-systeemin \emph{liit�nn�ismatriisin} $\tilde{A}$
kuudes sarake tukisarake. Onko systeemi konsistentti vai ei?\\
(c) Olkoon systeemin kerroinmatriisin $A$ jokaisella rivill� tukialkio.
Selvit�, miksi systeemi on konsistentti. 



\end{enumerate}



%\subsection*{Ohjeita}

\end{document}




\begin{center}
\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/harj4lva.eps} 
\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/harj4lvb.eps} 
\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/harj4lvc.eps} 
\end{center}
(a) x-nurkat: $-2,-1,1,2$, y-arvot: $0,1$,\quad
(b) x-nurkat: $-2,0,3$, \\ y-arvot: $0,2,0$,\quad
(c) x-nurkat: $-2,2$, y-arvot: $-1,1$.




\item
M��rit� seuraavat k��nteismuunnokset: 
$f(t)=({\cal L}^{-1}\lbrace F(s)\rbrace)(t)$, kun




\begin{center}
(a) $F(s) = {\frac {{e^{-5\,s}}}{s}}$, \quad 
(b) $F(s) = {\frac {{e^{-3\,s}}}{ \left( s-2 \right) ^{2}}}$,\quad 
(c) $F(s) = {\frac {s{e^{-2\,s}}}{{s}^{2}+9}}$.
\end{center}
Vast. (b) $ \left( {e^{2\,t-6}}t-3\,{e^{2\,t-6}} \right)u\left( t-3 \right) $


\item %3
Ratkaise alkuarvoteht�v� $y'' + 2 y' = \begin{cases} 0, 0 \leq t < 1 \\
                           1, t \ge 1      \end{cases},\ \ y(0)=0,  y'(0)=1 .$

%u(t-1), \ \ y(0)=0,  y'(0)=1 .$

%($u$ on j�lleen yksikk�askel-  eli {\em Heavisiden funktio}.)
%jota siis usein merkit��n my�s $u$:lla.
%$u(t)=\begin{cases} 0, t < 0 \\
%                           1, t > 0
%      \end{cases}$

Vast: $y(t)=-1/2\,{e^{-2\,t}}+1/2+u(t-1)\left (1/2\,t-3/4+1/4\,{e^{-2\,t+2}}
\right )$

\textbf{El�m�nviisaus:} �l� hyv� ihminen milloinkaan, miss��n olosuhteissa
yrit� ratkaista t�llaista teht�v�� kahdessa osassa, kahden eri her�tteen vallitessa. Se on kyll� mahdollista, mutta ...
t�h�n menness� jokainen yritys on tuottanut kokeessa 0 pistett�.
(Nimim. ``kokemusta on'').




\end{enumerate}


\subsection*{Ohjeita}

\subsection*{Vakiokertoimiset lineaariset differentiaaliyht�l�t}

Kertauksena 1--2-kurssien asioista:

Yht�l� $a\,y'' + b\,y' + c\,y = r(t)$ ratkaistaan vaiheittain:\\
1. Homogeeniyht�l�n yleinen (HY) ratkaisu: L�hdet��n yritteell� 
$y(t)=e^{\lambda\,t}$. Kun t�m� sijoitetaan (HY):��n, saadaan 2. asteen yht�l�
"ominaisarvojen" $\lambda$ m��r��miseksi. Jos juuret ovat kompleksiset, johdutaan
Eulerin kaavan avulla ratkaisuihin $e^{\alpha\,t}\cos\,\beta\,t$ ja 
$e^{\alpha\,t}\sin\,\beta\,t$, miss� $\lambda=\alpha\pm i\,\beta.$\\
(HY):n yleinen ratkaisu on $y_h=C_1\,e^{\alpha\,t}\cos\,\beta\,t+
C_2\,e^{\alpha\,t}\sin\,\beta\,t$.\\
2. Ep�homogeenisen (EHY) yleinen: Etsit��n jokin (EHY):n erityisratkaisu $y_e.$
(EHY):n yleinen on $y=y_h+y_e$ ((HY):n yleinen + (EHY):n erityinen).
Erityisratkaisun etsint� tapahtuu yritteell�, joka ensiyrityksell� on samaa
muotoa kuin oikean puolen "her�te". T�ss� siis $y_e=a\,\cos\,t + b\,\sin\,t.$
(Koska $\cos' = -\sin,$ ei p�rj�t� pelk�ll� kosinitermill�.) Kertoimet m��r�t��n, jos voidaan siten, ett� yht�l� toteutuu. (Ellei voida, on yrite v��r�� 
muotoa.) 
\\
3. Alkuarvoteht�v� (AA). Otetaan ja ratkaistaan alkuehtojen (AE) perusteella
vakiot $C_1$ ja $C_2.$

\end{document}

\subsection*{Laplace-muunnokset}

%{\tiny Alla oleva teksti tulee t�ss� muodossa v�likoe- ja 
%tenttiteht�v�papereihin mukaan.}

\textbf{M��ritelm�: }
Annettu $f(t)$, ${\cal L}f=F$, $F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ 
\quad {\bf Merk.} $u(t)=H(t)$=yksikk�askelfunktio . \\
$({\cal L}f')(s)=s F(s)-f(0),\quad ({\cal L}f'')(s)=s^2 F(s)-s f(0)-f'(0),$
${\cal L}\lbrace \int_0^t f(\tau)d\tau \rbrace ={\frac{1}{s}}F(s), \ \ 
{\cal L}(f*g)=({\cal L}f)({\cal L}g), (f*g)(t)=\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau = (g*f)(t)$

${\cal L}\lbrace e^{at} f(t) \rbrace = F(s-a), \ \ 
 {\cal L}\lbrace u(t-a)f(t-a) \rbrace = e^{-as}F(s), \ \
{\cal L}\lbrace \delta(t-a)\rbrace = e^{-as}$

\vskip 0.25 cm

{\bf Laplace-taulukko}

%\hrule 

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$f(t)$ & $t^k$  & $e^{at}$ & $\cosh at$ &  $\sinh at$ &  
 $\cos \omega t$ & $\sin \omega t$  \\ \hline \hline

$F(s)$ & ${\frac{k!}{s^{k+1}}}$  & ${\frac{1}{s-a}}$ & ${\frac{s}{s^2-a^2}}$
& ${\frac{a}{s^2-a^2}}$  & ${\frac{s}{s^2+\omega^2}}$ & 
${\frac{\omega}{s^2+\omega^2}}$
\\ \hline 
\end{tabular}

%\include{/home/apiola/tex/osamurto}
%% Liit� tenttipaperiin, jos tarpeen  tex/osamurto.tex %% 29.8.02

\subsection*{Osamurtokehitelm�t}

Olk. $F(s)={\frac{P(s)}{Q(s)}}$, miss� $\textit{deg}(P) < \textit{deg}(Q)$
\\
1) Jos $Q(s)$:ll� on yksinkertainen tekij� $s-a$, otetaan kehitelm��n termi
${\frac{A}{s-a}}.$
\\
2) Jos $Q(s)$:ll� on yksinkertainen tekij� $s^2+b s+c$, tulee kehitelm��n termi
${\frac{Bs+C}{s^2+b s+c}}$, jos halutaan operoida reaalisilla kertoimilla.
\\
3) Jos em. muotoa olevat termit esiintyv�t korkeammassa potenssissa, sanokaamme
$r$, otetaan termit
${\frac{A_1}{s-a}}+{\frac{A_2}{(s-a)^2}}+\hdots +{\frac{A_r}{(s-a)^r}}$
ja vastaavasti toisessa tapauksessa termit
${\frac{B_1s+C_1}{s^2+b s+c}}+\hdots + \frac{B_rs+C_r}{(s^2+b s+c)^r}$



\end{document}

\item %6
Paloittain jatkuva funktio $f$ on {\em exp-kertalukua}
\footnote{Huom: {\bf Painovirhe}: KRE8 s. 256 Theorem 3 kaava (2),
oikealla oltava $e^{+k t}$}
, jos on olemassa
vakiot $M>0,\ \ \sigma>0$ siten, ett�


$|f(t)| \leq M e^{\sigma\, t}, \ \  \forall t \geq 0$  

a) Osoita, ett� $e^{t^2}$ ei ole exp-kertalukua.

b) Onko exp-kertalukua olevan funktion derivaatta exp-kertalukua.

Vihjeet: (a) Jos tuollainen ep�yht�l� olisi voimassa, niin se p�tisi
my�s logaritmeille ...\\
(b) Tarkastele vaikkapa funktiota $f(t)=\sin(e^{t^2})$.








\item %
Diagonalisoi alla olevat matriisit, jos mahdollista. Kielteisess�
tapauksessa perustele diagonalisoitumattomuus.
My�nteisess� tapauksessa laske $A^{25}$.

a)  $A=\left [\begin {array}{ccc} 0&0&1\\\noalign{\medskip}0
&0&1\\\noalign{\medskip}1&1&1\end {array}\right ]$
b) $A=\left [\begin {array}{ccc} 1&0&0\\\noalign{\medskip}
                                 2&1&0\\\noalign{\medskip}
                                 0&0&3 \end {array}\right ]$

Ohje: Saat k�ytt�� Matlabia rutiinilaskuihin, kuten matriisikertolaskuihin, k��nteismatriisiin ym. Sovitaan, ett� saat (a)-kohdassa k�ytt��
 komentoa {\tt eig} ominaisarvoihin, mutta et ominaisvektoreihin,
(b)-kohdassa kannattaa muistella
vanhoja harjoituksia. Matriisipotensiin ei kelpaa \verb_>> A^25_.
(Toki kaikki on sallittua tarkistukseen.)

