Teknillinen korkeakoulu Apiola Matematiikka

Mat-1.414 Matematiikan peruskurssi V2 kevät 2002

http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/H/

Laskuharjoitus 4 (viikko 7 , 13 – 15.2.2002)

1. välikokeen alue sisältää harjoitukset 1–4 sekä muutaman kertaustehtävän harjoituksissa 5. Luentoalue katkeaa viikolla 7 tarkemmin ilmoitettavaan luentoon.

Hiihtolomaviikolla (8) ei pidetä luentoja, mutta harjoitukset pidetään. Viikko 9 puolestaan on välikoeviikko, jonka kunniaksi on vapaata harjoituksista.

Alkuviikko (AV)

1. Mitkä ovat seuraavien funktioiden luonnolliset määrittelyjoukot: a) f(x, y) = \frac{x+y}{x−y}, b) f(x, y) = ln(1 + xy) c) f(x, y) = arcsin(x + y) . Piirrä (käsin) tasoon kunkin määrittelyjoukon kuva. Mitä topologisia ominaisuuksia joukoilla on? (avoin, suljettu, rajoitettu, yhtenäinen, joukon reuna, jne.)

2. Muodosta edellisen tehtävän funktioiden korkeuskäyrien (tasaarvokäyrien) yhtälöt. Muodosta myös pystyleikkauskäyrät tasojen x = 1 ja y = 1 kanssa kussakin tapauksessa. Hahmottele (edelleen käsin) kuvia. (Saat toki kokeilla Maplea, mutta käsin hahmottelutaito on myös välttämätön.)

3. Onko seuraavilla funktioilla raja-arvo, kun (x, y) → (0, 0) :

a) \frac{x}{|x| + |y|}  b) \frac{x^{2}}{|x| + |y|}

4. Olkoon f : ℝ^{2} → ℝ,

f(x, y) = \begin{cases}1, x^{2} < y < 2x^{2}, \\ 0, muulloin. \end{cases}

Osoita, että funktiolla on sama raja-arvo origossa lähestyttäessä mitä tahansa suoraa pitkin, mutta siitä huolimatta varsinaista raja-arvoa ei ole olemassa. Missä pisteissä funktio on jatkuva ja missä taas ei?

Ohje: Kulje erityisesti O:sta alkavaa nousevaa sädettä (kulmakerroin posit.) 1. neljänneksessä kulkien sitä alaspäin kohti origoa. Mitä tapahtuu lopulta, kun ollaan riittävän lähellä O:a?

5. (a) Muodosta funktion ln(1+e^{x^{2}y^{3}z}) 1. kertaluvun osittaisderivaatat kaikkien muuttujien suhteen.

(b) Osoita, että funktio arctan \frac{y}{x} toteuttaa Laplacen osittaisdifferentiaaliyhtälön

\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = 0.

(Tällaisia funktioita sanotaan harmonisiksi funktioiksi.)

6. Oletetaan, että funktioilla u(x, y) ja v(x, y) on jatkuvat toiset osittaisderivaatat ja ne toteuttavat ns. Cauchy-Riemannin yhtälöt:

\frac{∂u}{∂x} = \frac{∂v}{∂y} , \frac{∂v}{∂x} = −\frac{∂u}{∂y}

Osoita, että u ja v ovat harmonisia.

Loppuviikko (LV)

1. Tee joitakin AV-tehtäviin 1–4 liittyviä visualisointeja. Katso myös lopussa olevaa Maple-ohjetta ja ..L/pintoja.mws-työarkkia malliksi. Tehtävä on vapaamuotoinen, suorituksen suhteen riittää parin funktion tarkastelu mielellään aika monipuolisesti. (Kenties innostut tekemään enemmänkin ihan vaan asian harrastuksesta.)

2. Olkoon f(x, y) = x^{3}y^{2} + x^{4} sin y + cos(xy). Laske osittaisderivaatat f_{xxy}, f_{xyx}, f_{yxx} ja totea, että ne ovat samat.

Voit antaa Maplen laskea.

3. Laske yhdistetyn funktion derivoimissääntöä (eli ketjusääntöä, ”chain rule”) käyttäen \frac{∂w}{∂s} ja \frac{∂w}{∂t}, kun

(a) w = x ln(x^{2} + y^{2}), x = s + t, y = s − t ,

(b) w = e^{x+2y} sin(2x − y), x = s^{2} + t^{2}, y = 2s^{2} − t^{2}

Tee käsin ja tarkista Maplella.

4. Kolmionmuotoisen maa-alan kahden sivun mitatut pituudet ovat 224 m ja 158 m ja niiden välinen kulma 64^{∘} . Pituusmittauksen virheraja on 0.4 m ja kulman 2^{∘} . Mikä on pinta-alan likimääräinen suhteellinen maksimivirhe. Vast: n. 2 %

5. Osittaisderivoituvan funktion f : ℝ^{2} → ℝ gradientti ∇f määritellään näin ∇f(x, y) = f_{x}(x, y)i + f_{y}(x, y)j . Olkoon f(x, y) = |xy| .

(a) Piirrä tasa-arvokäyrät(korkeuskäyrät) f(x, y) = k, k = 1, 2, 3.

(b) Piirrä f:n gradienttivektoreita ∇f(x, y) tasa-arvokäyrien pisteisiin. Kun käytät samaa skaalaa akseleilla (scaling=constrained), pitäisi kuvasta näkyä, miten gradienttivektorin ja korkeuskäyrän suunnat suhtautuvat toisiinsa.

6. Työarkilla ../L/pintoja.mws kohdassa ”toinen esimerkki”tarkastellaan funktiota f(x, y) = \frac{x}{x^{2}+y^{2}} . Sekä plot3d- että contourplot-kuvat ovat lievästi sanoen harhaisia. (Toki erilaisilla optioilla voi plot3d-kuvaa olennaisesti parantaa.) Selvitä, minkälainen kuvaaja todellisuudessa on. Tarvitset taas sekä Maplea että kynää ja paperia. Piirtele myös pystyleikkauksia, oikeita korkeuskäyriä ym.

Maple-ohjeita

Usein pintapiirrosta voidaan täsmentää ja tarkentaa ja ymmärtää paremmin, kun piirretään sopivia avaruuskäyriä pinnalle spacecurve:lla.

Alla on esimerkki, jossa piirretään napasädettä pitkin kulkevan pystytason ja annetun pinnan leikkauskäyrä sekä käyrän projektio xy-tasossa. Varsin käyttökelpoinen tapa monessa yhteydessä. Tätä voi modifioida tarpeen mukaan.

> with(plots):
> f:=(x,y)->4-x^2-y^2;
> x:=r*cos(Theta):y:=r*sin(Theta): Theta:=Pi/4:
> pystyleikkaus:=spacecurve({[x,y,f(x,y)],[x,y,0]},r=0..2,thickness=3,
color=blue,axes=BOX)
> x:='x':y:='y':  # On hyvä muistaa vapauttaa.
> pinta:=plot3d(...):   # Muista tässä tavassa lopettaa kaksoispisteeseen.
> display([pinta,pystyleikkaus],style=patchcontour);

                                                                        > display(pystyleikkaus);  # Katsotaan pelkkää leikkauskäyrää.