\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v2harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
%\def\Arg#1{\textit{Arg} #1}
\def\Arg{{\textit{Arg}}\ \ }
\def\erf{{\textit{erf}}\ \ }

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{4}{7}{13 -- 15.2.2002}

1. v�likokeen alue sis�lt�� harjoitukset 1--4 sek� muutaman kertausteht�v�n
harjoituksissa 5. Luentoalue katkeaa viikolla
7 tarkemmin ilmoitettavaan luentoon.

Hiihtolomaviikolla (8) ei pidet� luentoja, mutta harjoitukset pidet��n.
Viikko 9 puolestaan on v�likoeviikko, jonka kunniaksi on vapaata 
harjoituksista. %(mutta ei vapaaehtoisesta harjoittelusta).


\subsection*{Alkuviikko (AV)}


\begin{enumerate}

\item
Mitk� ovat seuraavien funktioiden luonnolliset m��rittelyjoukot:

a) $f(x,y)=\frac{x+y}{x-y}$, \quad 
b) $f(x,y)=\ln(1+xy)$ \quad
c) $f(x,y)=\arcsin(x+y)$ .


Piirr� (k�sin) tasoon kunkin m��rittelyjoukon kuva. 
Mit� topologisia ominaisuuksia 
joukoilla on? ({\em avoin, suljettu, rajoitettu, yhten�inen, joukon reuna}, 
jne.)


\item
Muodosta edellisen teht�v�n funktioiden korkeusk�yrien (tasa-arvok�yrien)
yht�l�t. Muodosta my�s pystyleikkausk�yr�t tasojen $x=1$ ja $y=1$ kanssa
kussakin tapauksessa.
Hahmottele (edelleen k�sin) kuvia. (Saat toki kokeilla Maplea, mutta 
k�sin hahmottelutaito on my�s v�ltt�m�t�n.)

\item
Onko seuraavilla funktioilla raja-arvo, kun $(x,y)\to (0,0)$ :

 $$\textrm{a)}\ \ \frac{x}{|x|+|y|} \qquad  \textrm{b)}\ \ 
\frac{x^2}{|x|+|y|}$$

\item
Olkoon $f:\R^2 \rightarrow \R$,


$$
f(x,y) = \begin{cases}
         1,\ \ x^2 < y < 2 x^2, \\
         0, \ \  \textit{muulloin} .
          \end{cases}
$$


Osoita, ett� funktiolla on sama raja-arvo origossa l�hestytt�ess� mit�
tahansa suoraa pitkin, mutta siit� huolimatta varsinaista raja-arvoa
ei ole olemassa. Miss� pisteiss� funktio on jatkuva ja miss� taas ei?

{\bf Ohje:} Kulje erityisesti O:sta alkavaa nousevaa s�dett� (kulmakerroin posit.)
1. nelj�nneksess� kulkien sit� alasp�in kohti origoa. Mit� tapahtuu lopulta,
kun ollaan riitt�v�n l�hell� O:a?

%Vast

%Piirr� kuvaaja funktion rajoittumasta mielivaltaiselle origon kautta
%kulkevalle suoralle; tutki t�t� varten, miss� pisteiss� ko\. suora leikkaa
%paraabelit $y = x^2$ ja $y = 2x^2$. Funktio on ep�jatkuva n�ill�
%paraabeleilla.

\item
(a)
Muodosta funktion  $\ln(1+e^{x^2 y^3 z}) $ 1. kertaluvun 
osittaisderivaatat kaikkien muuttujien suhteen.

(b)
Osoita, ett� funktio $\arctan \frac{y}{x}$ toteuttaa
{\em Laplacen osittaisdifferentiaaliyht�l�n}

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 .$$

(T�llaisia funktioita sanotaan {\em harmonisiksi funktioiksi}.)

\item
Oletetaan, ett� funktioilla $u(x,y)$ ja $v(x,y)$  on jatkuvat toiset osittaisderivaatat ja ne toteuttavat ns.
{\em Cauchy-Riemannin} yht�l�t:

$$ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\ \
\frac{\partial v}{\partial x}= -\frac{\partial u}{\partial y} $$

Osoita, ett� $u$ ja $v$ ovat harmonisia.






\end{enumerate}

\subsubsection*{Loppuviikko (LV)}

\begin{enumerate}

\item
Tee joitakin AV-teht�viin 1--4 liittyvi� visualisointeja. Katso my�s lopussa
olevaa Maple-ohjetta ja {\tt ..L/pintoja.mws}-ty�arkkia malliksi.
Teht�v� on vapaamuotoinen, suorituksen suhteen riitt�� parin funktion tarkastelu mielell��n aika monipuolisesti. (Kenties innostut tekem��n enemm�nkin ihan
vaan asian harrastuksesta.)

\item
Olkoon $f(x,y) = x^3 y^2 + x^4 \sin y + \cos(xy)$. Laske osittaisderivaatat
$f_{xxy}$, $f_{xyx}$, $f_{yxx}$ ja totea, ett� ne ovat samat.

Voit antaa Maplen laskea.


\item
Laske yhdistetyn funktion derivoimiss��nt�� (eli ketjus��nt��, "chain rule")
k�ytt�en $\frac{\partial w}{\partial s}$ ja 
$\frac{\partial w}{\partial t}$, kun

(a) $w=x\ln(x^2+y^2),\ \ x=s+t, y=s-t$ , \\
(b) $w=e^{x+2y}\sin(2x-y), \ \ x=s^2+t^2, \ \ y=2s^2-t^2$

Tee k�sin ja tarkista Maplella.

\item % Ad s. 739 teht. 11, V: s. 448 
Kolmionmuotoisen maa-alan kahden sivun mitatut pituudet ovat 
$224$ m ja $158$ m ja niiden v�linen kulma $64^\circ$ .
Pituusmittauksen virheraja on $0.4$ m ja kulman $2^\circ$ .
Mik� on pinta-alan likim��r�inen suhteellinen maksimivirhe.

Vast: n. $2$ \%

\item
Osittaisderivoituvan funktion $f:\R^2 \to \R$ {\em gradientti} $\nabla f$ 
m��ritell��n n�in $\nabla f(x,y)=f_x (x,y) \V{i} + f_y(x,y) \V{j}$ .

Olkoon $f(x,y)=|xy|$ . \\
(a) Piirr� tasa-arvok�yr�t(korkeusk�yr�t) $f(x,y)=k, k=1,2,3$. \\
(b) Piirr� $f$:n gradienttivektoreita $\nabla f(x,y)$ tasa-arvok�yrien
pisteisiin. Kun k�yt�t samaa skaalaa akseleilla ({\tt scaling=constrained}),  
pit�isi kuvasta n�ky�, miten gradienttivektorin ja korkeusk�yr�n suunnat
suhtautuvat toisiinsa.


\item
Ty�arkilla {\tt ../L/pintoja.mws} kohdassa "toinen esimerkki" tarkastellaan funktiota $f(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}$.
Sek� plot3d- ett� contourplot-kuvat ovat liev�sti sanoen harhaisia.
(Toki erilaisilla optioilla voi plot3d-kuvaa olennaisesti parantaa.)
Selvit�, mink�lainen kuvaaja todellisuudessa on.
Tarvitset taas sek� Maplea ett� kyn�� ja paperia. 
Piirtele my�s pystyleikkauksia, oikeita korkeusk�yri� ym.


\end{enumerate}

\subsubsection*{Maple-ohjeita}

Usein pintapiirrosta voidaan t�sment�� ja tarkentaa ja ymm�rt�� paremmin,
kun piirret��n sopivia avaruusk�yri� pinnalle {\tt spacecurve}:lla.

Alla on esimerkki, jossa
piirret��n napas�dett�
pitkin kulkevan pystytason ja annetun pinnan leikkausk�yr� sek� k�yr�n 
projektio
xy-tasossa. Varsin k�ytt�kelpoinen tapa monessa yhteydess�. T�t� voi modifioida
tarpeen mukaan.


\begin{verbatim}
> with(plots):
> f:=(x,y)->4-x^2-y^2;
> x:=r*cos(Theta):y:=r*sin(Theta): Theta:=Pi/4:
> pystyleikkaus:=spacecurve({[x,y,f(x,y)],[x,y,0]},r=0..2,thickness=3,
color=blue,axes=BOX)
> x:='x':y:='y':  # On hyv� muistaa vapauttaa.
> pinta:=plot3d(...):   # Muista t�ss� tavassa lopettaa kaksoispisteeseen.
> display([pinta,pystyleikkaus],style=patchcontour); 
> display(pystyleikkaus);  # Katsotaan pelkk�� leikkausk�yr��. 
\end{verbatim}

\end{document}

\item
Olkoon $f:\R^2 \to \R$:
$$
f(x,y)=\begin{cases}
          x+y, \ \ \textit{kun} \ \ x=0 \ \ \textit{tai} \ \ y=0 \\
          1, \ \ \textit{muuten}
       \end{cases}
$$
Osoita, ett� $f$:ll� on osittaisderivaatat 0:ssa, mutta $f$ ei ole jatkuva
0:ssa

\item
Oletetaan, ett� olet ostamassa asuntoa ja pyyd�t pankista lainaa.
Takaisinmaksu suoritetaan kuukausittain maksettavin vakioer�isin
maksuin (annuiteetti). Kokonaislaina-aika olkoon 30 vuotta.

a) Miten suuren lainan voit ottaa, jos maksimikuukausier�, jonka voit 
irrottaa, on $100$ euroa.

b) Kuinka paljon kuukausier�� tulee nostaa, jos haluatkin maksaa lainan
20 vuodessa.

Oletetaan, ett� korkoprosentti on $5$.

Voit tehd� Maple-ty�arkin, jossa nime�t ensin kaikki asiaan vaikuttavat
parametrit, niit� voit tarpeen tullen muutella.

Vaikka teht�v� on helppo ratkaista muutenkin, suosittelen Z-muunnosta, ehk�p�
se tekee pankinjohtajaasi suuren vaikutuksen.

Voit keksi� muitakin asiankuuluvia kysymyksi�, kuten korkoprosentin muutoksen
vaikutus ym.

Teht�v� hyv�ksyt��n ilmankin Z-muunnosta, mutta suositellaan voimakkaasti
Z-muunnoksen k�ytt�� luennolla esitetyn mallin mukaisesti.
(Aineksia lis�plussaan on.)
