\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v2harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
%\def\Arg#1{\textit{Arg} #1}
\def\Arg{{\textit{Arg}}\ \ }
\def\erf{{\textit{erf}}\ \ }

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{5}{9}{27.2. -- 1.3.2002}

Muistutan, että 1. välikokeen viimeinen asia on ketjusääntö,
differentioituvuus jää toisen välikokeen piiriin.

Hiihtolomaviikolla (8) ei pidetä luentoja, {\bf eikä myöskään harjoituksia}
(toisin kuin aikaisemmin ilmoitettiin).

Lue myös tehtäväpaperin lopussa olevat ohjeet.
Ohjeita on tavallista enemmän, koska kyseltäviä asioita ei ehditä 
kaikilta osin käsitellä luennoilla ennen harjoituksia (ainakaan AV).

Tehtäviä on vähennetty ja lyhennetty, koska luentokyselyssä ilmeni,
että tehtävät on koettu liian työläiksi ja vaikeiksi.
Myös Maple-osuutta on kevennetty.

Laskaripisteiden laskentaa tämä ei heilauta. Pisteet normeerautuvat
lopullisessa laskennassa suhteessa tehtävien kokonaismäärään.


\subsection*{Alkuviikko (AV)}


\begin{enumerate}

\item %1
Olkoon $f(x,y)=\ln \norm{\V{r}}$, missä $\V{r}=x\V{i}+y\V{j} .$
Osoita, että
$$\nabla f = \frac{\V{r}}{\norm{\V{r}}^2} .$$

\item %2 
Laske funktion $f(x,y)=y e^{x}$ suunnattu derivaatta pisteessä $(0,3)$
suuntaan $2\V{i}-3\V{j} .$

\item %3
Mihin suuntaan funktion $f(x,y)=y(1+x+y e^x)$ suunnattu derivaatta
pisteessä $(0,-2)$ on nolla?

\item %4
Oletetaan, että differentioituvan funktion $f$ suunnattu derivaatta
pisteessä $p_0$ suuntaan $\V{i}+\V{j}$ on $3\sqrt{2}$ ja suuntaan
$3\V{i}-4\V{j}$ on $5$.
Määritä funktion gradientti $\nabla f$ pisteessä $p_0$

\item %5
Olkoon $f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}$ . \\
Määritä pinnan $z=f(x,y)$ tangenttitaso pisteessä $(2,-1)$.


\end{enumerate}

\subsubsection*{Loppuviikko (LV)}

\begin{enumerate}

\item %1
Tornin korkeuden selvittämiseksi mitataan maanpinnan kahdesta  pisteestä
A ja B korkeuskulma tornin huippuun.
Olkoot kulmat $50^\circ$ ja $35^\circ$, kumpikin mitattuna yhden asteen tarkkuudella.
Etäisyys AB on $100$ m $1$\%:n mittaustarkkuudella.

Miten korkea on torni ja mikä on likimääräinen maksimivirhe ?
Mille kolmesta mittauksesta korkeustulos on herkistynein ("sensitiivisin").

Kommentti: Tämä on periaatteessa samaa tyyppiä kuin harj. 4:n
kolmio-maa-ala-lasku, siis differentiaalin käyttöä. 
Derivoinneissa on varmasti hyötyä Maplesta (käsin ehkä hiukan työläs).

\item %2
Maaston korkeus (merenpinnasta mitattuna) karttakoordinaattien funktiona
olkoon $h(x,y)=-x^2+4xy-8y^2+300$. Positiivinen x-akseli osoittaa itään
ja positiivinen y-akseli pohjoiseen.
Kulkuri K ottaa pisteestä $(1,2,h(1,2))$ lähtöaskeleen kaakkoon.  
Nouseeko hän vai laskeutuuko? 

Tämä on käsinlaskutehtävä. Havainnollistaminen Maplella on toki suositeltavaa. 
Pintapiirros: {\tt plot3d}, korkeuskäyrät: {\tt contourplot}
tai {\tt implicitplot}.
Leikkauskäyrä kaakko-luode-suuntaisen pystytason kanssa ...
%(Katso mallia: {\tt L/pintoja.mws} )

\item %3
Määritä lieriöiden
$$x^2+y^2=2, \ \ y^2 + z^2 =2 $$

leikkauskäyrän pisteen  $(1,-1,1)$ kautta kulkevan tangentin yhtälö.

Lieriöpinnan piirtäminen sujuu hyvin {\tt plot3d}:llä. Kannttaa
ajatella lieriö (kahdesta parametristä riippuvana) parametrimuotoisena pintana. Ensimmäisen lieriön
luonnollinen parametriesitys on $x=\sqrt{2}\cos t, 
y=\sqrt{2}\sin t, z=z$. Tässä siis $t$ ja $z$ ovat parametreja.

Edellinen voisi näyttää tältä:

{\tt plot3d([sqrt(2)*cos(t),sqrt(2)*sin(t),z],t=0..2*Pi,z=c..d);}

Jälkimmäinen vastaavasti. Kuvat yhdistetään: 

{\tt display(kuva1,kuva2);} 

Huom! {\tt plot3d} on monipuolinen funktio, sille voi antaa pinnan
muodossa $f(x,y)$, mutta myös parametrimuodossa yllä kaavailtuun tapaan.

\item %4
Muodosta tehtävän 2 funktion $h(x,y)$ gradienttifunktio (gradienttikenttä). Piirrä gradienttikenttä {\tt plots}-pakkauksen
funktiolla {\tt fieldplot}.
Yhdistä korkeuskäyräpiirros tämän kanssa {\tt display}-funktion avulla.

Ohje:
Gradienttikentän voi laskea käsin tai derivoimalla Maplen {\tt diff}:llä tai {\tt linalg}-pakkauksen funktiolla {\tt grad}.
Ei ole pahitteeksi, jos kokeilet kaikkia tapoja.

\end{enumerate}

\subsubsection*{Ohjeita}


{\bf Suunnattu derivaatta ja gradientti}

[LP] ss. 71 -- 73
\begin{itemize}
\item
Suunnattu derivaatta pisteesä $p_0$ vektorin $\V{v}$ suunassa saadaan lasketuksi pisteessä $p_0$ lasketun gradientin ja 
suuntayksikkövektorin sisätulona.
\item
Siispä funktio kasvaa nopeimmin gradientin suuntaan ja sen kasvu on
$0$ gradienttia vastaan kohtisuoraan suuntaan.
\item
Suunta, johon funktion kasvu on $0$ on tasa-arvokäyrän (tai -pinnan)
tangentin (tangenttitason) suuntainen, joten gradientti on normaalin
suuntainen.

\end{itemize}

{\bf Pinnan normaali ja tangenttitaso}

Jos pinnan yhtälö esitetään muodossa $F(x,y,z)=0$, saadaan edellisen perusteella pinnan tangenttitason yhtälö pisteessä $p_0$ näin:

$\nabla F(p_0) \dot (p-p_0)=0$

Jos pinta on annettu muodossa $z=f(x,y)$, saadaan siten normaalin suunta funktion $F(x,y,z)=f(x,y)-z$ gradienttina.

Tästä seuraa, että pisteeseen $p_0$ asetetun tangenttitason yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon

$$z-z_0 = f_1(p_0)(x-x_0) + f_2(p_0)(y-y_0) .$$

($f_1 $ja $f_2$ tarkoittavat osittaisderivaattoja.)

{\bf Kahden pinnan leikkauskäyrän tangentti}

Leikkauskäyrän tangentti on kohtisuorassa molempien pintojen normaalia vastaan (eikö vain!). Siten leikkauskäyrän tangentin suuntainen vektori
saadaan pinnan normaalivektorien ristitulona 
$\V{t}= \V{n_1}\times \V{n_2}$.

\subsubsection*{Maple-ohjeita}

\begin{verbatim}
with(linalg): with(plots):
fieldplot(grad(f(x,y),[x,y]),x=a..b, y=c..d,arrows=slim,color=x); 
# a:lla, b:llä jne. oltava tietysti numeeriset arvot.
\end{verbatim}

%\end{itemize}










\end{document}



\begin{enumerate}



%%%%%%%%%%%% harj6 2001 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\item
(a)
Osoita, että funktiot $e^{kx}\cos (ky)$ ja $e^{kx}\sin (ky)$ toteuttavat
{\em Laplacen osittaisdifferentiaaliyhtälön}
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 .$$

Tällaisia funktioita sanotaan {\em harmonisiksi funktioiksi}.


(b)
Osoita, että funktio $f(x,t) = u(x + at) + v(x - at)$, missä $u$ ja $v$ ovat
kahdesti derivoituvia funktioita $\R \rightarrow \R$ ja $a$ vakio, toteuttaa
osittaisdifferentiaaliyhtälön $f_{tt} = a^2 f_{xx}$, ns. aaltoyhtälön.
Tarvitset vain tavallista yhden muuttujan funktion ketjusääntöä.


\item
Olkoon $f(x,y) = x^3 y^2 + x^4 \sin y + \cos(xy)$. Laske osittaisderivaatat
$f_{xxy}$, $f_{xyx}$, $f_{yxx}$ ja totea, että ne ovat samat.

\item
Olkoon $f:\R^2 \to \R$:
$$
f(x,y)=\begin{cases}
          x+y, \ \ \textit{kun} \ \ x=0 \ \ \textit{tai} \ \ y=0 \\
          1, \ \ \textit{muuten}
       \end{cases}
$$
Osoita, että $f$:llä on osittaisderivaatat 0:ssa, mutta $f$ ei ole jatkuva
0:ssa .

\item
Osittaisderivoituvan funktion $f:\R^2 \to \R$ {\em gradientti} $\nabla f$ 
määritellään näin $\nabla f(x,y)=f_x (x,y) \V{i} + f_y(x,y) \V{j}$ .

Olkoon $f(x,y)=|xy|$ . \\
(a) Piirrä tasa-arvokäyrät(korkeuskäyrät) $f(x,y)=k, k=1,2,3$. \\
(b) Piirrä $f$:n gradienttivektoreita $\nabla f(x,y)$ tasa-arvokäyrien
pisteisiin. Kun käytät samaa skaalaa akseleilla, voit tehdä kuvan perusteella
hypoteesin, no tee!
(Piirtäminen sujuu varmasti hyvin myös käsin.)


\item
Laske yhdistetyn funktion derivoimissääntöä (eli ketjusääntöä, "chain rule")
käyttäen $\frac{\partial w}{\partial s}$ ja 
$\frac{\partial w}{\partial t}$, kun

(a) $w=x\ln(x^2+y^2),\ \ x=s+t, y=s-t$ , \\
(b) $w=e^{x+2y}\sin(2x-y), \ \ x=s^2+t^2, \ \ y=2s^2-t^2$


\item
Mihin suuntaan funktio $f(x,y)=x^3 - 2xy^2z + 5yz^4$ kasvaa nopeimmin
pisteessä $(2,-2,1)$ ?
Mikä on funktion derivaatta tähän suuntaan? Piirrä funktion kuvaaja 
rajoitettuna tälle suunnalle. 


Tässä tarvitaan tietoa, joka nyt paljastettakoon: Funktio kasvaa nopeimmin
gradientin suuntaan. Suunnattu derivaatta esitetään tiistain luennolla,
saadaan lasketuksi gradientin ja suuntayksikkövektorin sisätulona.


\end{enumerate}




\subsection*{Loppuviikko, pe 9.3.}

\begin{enumerate}

\item


\end{enumerate}

\subsection*{2000}


\begin{enumerate}
\item  %1
Kolmionmuotoisen maa-alueen kahden sivun pituudet olkoot $31$ m ja  $46$ m, 
sivujen
väinen kulma $\alpha=72^\circ$. Pituudet on mitattu puolen metrin 
tarkkuudella ja kulma yhden asteen tarkkuudella. Arvioi differentiaalin 
avulla pinta-alan virhettä.

(Voit huvin vuoksi laskea Maplella myös tarkan virheen ja verrata.)

\item %2
a)
Määritä funktion $f(x,y)=x^2-y^2$ pisteen $\V{p}=(2,-1)$ kautta kulkevan 
korkeuskäyrän tangentti tässä pisteessä.

b)
Suorita sitten sama tehtävä tapauksessa $f(x,y)=\ln(x^2+y^2)$, $\V{p}=(2,-1)$ 

Ajatus voisi olla se, että teet a)-kohdan käsin ja b)-kohdan Maplella.

Piirrä samaan kuvaan korkeuskäyrä, tangentti ja mielellään myös 
gradienttivektori.

\item %3
Ei nyt tätä!

Määritä funktion $f(x,y,z)=\cos(x+2y+3z)$ sen tasa-arvopinnan tangenttitaso,
joka kulkee a) pisteen $(\pi/2,\pi,\pi)$ kautta, b) pisteen
$(\pi,\pi\pi)$ kautta. Huomaa, että b)-kohta edustaa tietynlaista 
singulaarisuutta, jolloin homma on hoidettava sen mukaisesti (loppujen
loppuksi tehtävä tässä tapauksessa helpottuu).

\item %4
Olkoon $f(x,y)=\ln \norm{\V{r}}$, missä $\V{r}=x\V{i}+y\V{j} .$
Osoita, että
$$\nabla f = \frac{\V{r}}{\norm{\V{r}}^2} .$$

\item %5
Mihin suuntaan funktio $f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2$ kasvaa puolella 
maksimikasvuvauhdistaan pisteessä $(a,b,c)$ ? 

\item %6
Määritä seuraavien pintojen leikkauskäyrän tangentti annetussa pisteessä
ja piirrä tyylikkäät kuvat.

a) sylinterit $x^2+y^2=2, \ \ y^2 + z^2 =2 $ pisteessä $(1,-1,1)$,

b) taso $x+y+z=6$ ja pallo $x^2+y^2+z^2=14$ pisteessä $(1,2,3)$

\end{enumerate}

\subsection*{Maple-ohjeita}

Lv12.mws-työarkilla teimme pienen gradientti,suunnattu derivaatta ym. 
"pakkauksen". Ehkä on opettavaisempaa operoida kuitenkin suoraan 
Totuttelemme myös {\tt linalg}-
pakkauksen käyttöön.

\begin{verbatim}
> with(linalg): with(plots): with(plottools):
> f:=(x,y)->...;
> G:=[diff(...),diff(...)];  #Gradientti (lauseke)
> # linalg:ssa on myös valmis funktio grad, kannattaa kokeilla sitäkin.
> v:=[a,b]  # suuntavektori
> u:=normalize(v)  # normeerattu suuntavektori
> kayra:=implicitplot(f(x,y)=korkeuarvo,x=...,y=...,color=...):
> tang:=plot(...):  # Suoran yhtälöstä, joka ratkaistaan tehtävässä
\end{verbatim}
Tiedostoon ohjelmat.mpl on lisätty määritykset
\begin{verbatim}
nuoli:=(alku,loppu,vari)->arrow(alku,loppu,0.01,0.05,0.02,color=vari):
`&.`:=(U,V)->linalg[dotprod](U,V):
\end{verbatim}
Edellistä voi käyttää gradienttinuolen piirtoon, jälkimmäisen avulla voi
kirjoittaa vektorien sisätulon tyyliin \verb_ u &. v; _ , aina voi käyttää
tapaa \verb_ dotprod(u,v);_
(Jostain syystä nuolen kärki jää pois, kun yhdistetään kaikki 3, sensijaan se
näkyy ihan komeasti kuvassa, jossa on vain käyrä ja gradienttinuoli.

Gradienttikentän saa myös kauniisti:

Kokeile vielä yhdistää samaan kuvaan:
\begin{verbatim}
> kentta:=dfieldplot(grad(f(x,y),[x,y]),x=0..5, y=-3..1,
arrows=slim,color x 
\end{verbatim}

Koska nuolen yhdistäminen muuhun grafiikkaan näyttää olevan ongelmallista,
määrittelimme pelkän jana3d-nimisen funktion:
\begin{verbatim}
jana3d:=(p,v)->spacecurve([p,evl(vector(p)+vector(v))],
thickness=2,color=red):
\end{verbatim}
Tässä $p$ edustaa pistettä ja $v$ siitä alkavaa suuntavektoria.


\begin{enumerate}

\item
Tarkastellaan funktiota $f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},\ \ f(0,0)=0 .$ 
Piirrä pintapiirros
Maplella tai Matlabilla. Yritä nähdä kuvasta, osittaisderivaattojen arvot
O:ssa. Yritä edelleen nähdä funktion epäjatkuvuus O:ssa. Todista nämä
ihan oikeasti. Saat toki käyttää siinäkin Maplea tarvittaviin laskuihin.
Kun saat kaiken valmiiksi, olet tullut näyttäneeksi, että epäjatkuvalla
funktiolla voi olla osittaisderivaatat (siis epäjatkuvuuspisteessä). 



\item
Määrittele Maple-funktio:
$$
f(x,y) = xy \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}, \ \text{kun}\ (x,y) \neq (0,0),
\quad f(0,0) = 0.
$$

Huom: Jos satuit unohtamaan, funktion poikkeusarvoja voidaan lisätä yleisen
määrittelyn jälkeen tyyliin
\begin{verbatim}
> f:=(x,y)-> ... ;
> f(0,0):=0;
\end{verbatim}

Laske $f$:n ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat origossa ja muualla.
Laske toisen kertaluvun sekaderivaatat $f_{xy}(0,0)$ ja $f_{yx}(0,0)$;
totea, että nämä ovat eri suuret. Piirrä funktion kuvaaja.


\item
Tutki, ovatko funktiot a)~$f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$, b)~$(x + y)|x + y|$
derivoituvia origossa? Entä jatkuvasti derivoituvia?

Vast

a)~Ei ole; \quad b)~on kumpaakin


\item
Mitä kartioleikkausta edustaa yhtälö
{$x_1^2+24x_1x_2-6x_2^2=5$}

Muunna yhtälö pääakselimuotoon ja piirrä kuva. Kts. esim. {\tt KRE}
Exa 6 s. 412 tai GRE 11.6 s. 589 %ja {\tt /p/edu/mat-1.443/teht/paakseli.mws}. 
Voit myös
katsoa: {\tt http://www.math.hut.fi/teaching/y3/harj/tyo/heigen.html}

Muista: Hyperbelin luonteva parametriesitys on $x=a\cosh t,\ \ y=b\sinh t$

\item
{\bf Spektri} tarkoittaa ominaisarvojen joukkoa kompleksitasossa
($n$ pistett\"a, joista osa saattaa yhty\"a, spektraalis\"ade on 
$r=max (\abs{\lambda_j})$ ja spektraaliympyr\"a 
siis $r$-s\"ateinen ympyr\"a.)
Spektri kertoo yleensä paljon matriisin luonteesta.

{\bf Tehtävä}
Piirr\"a {\it symmetristen}, {\it vinosymmetristen} ja {\it ortogonaalisten}
matriisien spektrej\"a. Lisää kuhunkin myös spektraaliympyrä.

{\bf Vihje:} Jos $A$ on mielivaltainen matriisi, niin sen avulla voit
muodostaa symmetrisen matriisin esim: $A^T A$ tai $A+A^T$, vinosymmetrisen
$A^T-A$ 
Ortogonaalimatriiseja voit kehitellä vaikkapa soveltamalla GramSchmidt-funktiota
satunnaismatriisin sarake (tai rivi)vektoreihin. Muista {\tt map}.

Satunnaismatriisin tapauksessa toiminta voisi olla tämäntapaista:
\begin{verbatim}
> z2xy:=z->[Re(z),Im(z)]; # Tällä muutetaan $x+iy$ muotoon $[x,y]$
> A:=randmatrix(20,20):
> omarvot:=eigenvalues(convert(op(A),float));
> # eigenvals laskee numeerisesti, jos matriisi sisältää liukulukuja.
> plot(map(z2xy,[omarvot]),style=point,symbol=circle);
# Riisu vaikka ensin plot pois, niin näet piirrettävän rakenteen.
\end{verbatim}

Selvitä, vastaavatko kuvat odotuksiasi.


\end{enumerate}

\end{document}







%%%%%%%%%%%% harj6 2001 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




%%%%%%%%%%%%%%% harj 6 2000 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item  %1
Kolmionmuotoisen maa-alueen kahden sivun pituudet olkoot $31$ m ja  $46$ m, 
sivujen
väinen kulma $\alpha=72^\circ$. Pituudet on mitattu puolen metrin 
tarkkuudella ja kulma yhden asteen tarkkuudella. Arvioi differentiaalin 
avulla pinta-alan virhettä.

(Voit huvin vuoksi laskea Maplella myös tarkan virheen ja verrata.)

\item %2
a)
Määritä funktion $f(x,y)=x^2-y^2$ pisteen $\V{p}=(2,-1)$ kautta kulkevan 
korkeuskäyrän tangentti tässä pisteessä.

b)
Suorita sitten sama tehtävä tapauksessa $f(x,y)=\ln(x^2+y^2)$, $\V{p}=(2,-1)$ 

Ajatus voisi olla se, että teet a)-kohdan käsin ja b)-kohdan Maplella.

Piirrä samaan kuvaan korkeuskäyrä, tangentti ja mielellään myös 
gradienttivektori.

\item %3
Määritä funktion $f(x,y,z)=\cos(x+2y+3z)$ sen tasa-arvopinnan tangenttitaso,
joka kulkee a) pisteen $(\pi/2,\pi,\pi)$ kautta, b) pisteen
$(\pi,\pi\pi)$ kautta. Huomaa, että b)-kohta edustaa tietynlaista 
singulaarisuutta, jolloin homma on hoidettava sen mukaisesti (loppujen
loppuksi tehtävä tässä tapauksessa helpottuu).

\item %4
Olkoon $f(x,y)=\ln \norm{\V{r}}$, missä $\V{r}=x\V{i}+y\V{j} .$
Osoita, että
$$\nabla f = \frac{\V{r}}{\norm{\V{r}}^2} .$$

\item %5
Mihin suuntaan funktio $f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2$ kasvaa puolella 
maksimikasvuvauhdistaan pisteessä $(a,b,c)$ ? 

\item %6
Määritä seuraavien pintojen leikkauskäyrän tangentti annetussa pisteessä
ja piirrä tyylikkäät kuvat.

a) sylinterit $x^2+y^2=2, \ \ y^2 + z^2 =2 $ pisteessä $(1,-1,1)$,

b) taso $x+y+z=6$ ja pallo $x^2+y^2+z^2=14$ pisteessä $(1,2,3)$

\end{enumerate}

\subsection*{Maple-ohjeita}

Lv12.mws-työarkilla teimme pienen gradientti,suunnattu derivaatta ym. 
"pakkauksen". Ehkä on opettavaisempaa operoida kuitenkin suoraan 
Totuttelemme myös {\tt linalg}-
pakkauksen käyttöön.

\begin{verbatim}
> with(linalg): with(plots): with(plottools):
> f:=(x,y)->...;
> G:=[diff(...),diff(...)];  #Gradientti (lauseke)
> # linalg:ssa on myös valmis funktio grad, kannattaa kokeilla sitäkin.
> v:=[a,b]  # suuntavektori
> u:=normalize(v)  # normeerattu suuntavektori
> kayra:=implicitplot(f(x,y)=korkeuarvo,x=...,y=...,color=...):
> tang:=plot(...):  # Suoran yhtälöstä, joka ratkaistaan tehtävässä
\end{verbatim}
Tiedostoon ohjelmat.mpl on lisätty määritykset
\begin{verbatim}
nuoli:=(alku,loppu,vari)->arrow(alku,loppu,0.01,0.05,0.02,color=vari):
`&.`:=(U,V)->linalg[dotprod](U,V):
\end{verbatim}
Edellistä voi käyttää gradienttinuolen piirtoon, jälkimmäisen avulla voi
kirjoittaa vektorien sisätulon tyyliin \verb_ u &. v; _ , aina voi käyttää
tapaa \verb_ dotprod(u,v);_
(Jostain syystä nuolen kärki jää pois, kun yhdistetään kaikki 3, sensijaan se
näkyy ihan komeasti kuvassa, jossa on vain käyrä ja gradienttinuoli.

Gradienttikentän saa myös kauniisti:

Kokeile vielä yhdistää samaan kuvaan:
\begin{verbatim}
\verb_kentta:=dfieldplot(grad(f(x,y),[x,y]),x=0..5, y=-3..1,
arrows=slim,color x 
\end{verbatim}

Koska nuolen yhdistäminen muuhun grafiikkaan näyttää olevan ongelmallista,
määrittelimme pelkän jana3d-nimisen funktion:
\begin{verbatim}
jana3d:=(p,v)->spacecurve([p,evl(vector(p)+vector(v))],
thickness=2,color=red):
\end{verbatim}
Tässä $p$ edustaa pistettä ja $v$ siitä alkavaa suuntavektoria.

\subsection*{Matlab-ohjeita}

{\bf Gradienttikenttä, gradient, quiver}

Matlab soveltuu myös erinomaisesti, osin paremminkin (usko pois!).
gradient-komento määrittää numeerisen differenssiapproksimaation:
\begin{verbatim}

       x=-2:.2:2;y=-1:.15:1;
       [X,Y] = meshgrid(x,y);
       f=inline('x .* exp(-x.^2 - y.^2)','x','y');
       Z=f(X,Y); [px,py] = gradient(Z,.2,.15);
       contour(X,Y,Z), hold on
       quiver(X,Y,px,py), hold off, axis image

[FX,FY,FZ] = GRADIENT(F), when F is a 3-D array, returns the
    numerical gradient of F. FZ corresponds to dF/dz, the differences
    in the z direction. GRADIENT(F,H), where H is a scalar, 
    uses H as the spacing between points in each direction.

f=inline('x.^2-y.^2','x','y')
h:=.1,x:=[2-h,h 2+h]
h=.1,y=[-1-h,h -1+h]
 [X,Y]=meshgrid(x,y)
Z=f(X,Y);
[fx,fy]=gradient(Z,h)
fx =
  -36.0000    4.0000   44.0000
  -36.0000    4.0000   44.0000
  -36.0000    4.0000   44.0000
fy =
   12.0000   12.0000   12.0000
    2.0000    2.0000    2.0000
   -8.0000   -8.0000   -8.0000

\end{verbatim}
\end{document}


#
# Esim: display([nuoli([0,0],[0,1],red),nuoli([0,1],[1,1],black),
#               nuoli([1,1],[0,0],blue)]);
#
# Gradientti, suunnattu derivaatta, ym. Pieni paketti, joka ei käytä linalg-
# pakkausen valmista gradient-funktiota.
# Otetaan käyttöön Israel:n evl ja ennen kaikkea &.
#
evl:=V->convert(evalm(V),list):   # Vektori -> lista
#`&.`:=(U,V)->linalg[dotprod](U,V,orthogonal):
`&.`:=(U,V)->linalg[dotprod](U,V):
gr:=f->[D[1](f),D[2](f)];   # 2. muutt. fkt. gradientti
n:=v->sqrt(v &. v);           # Normi (eukl.)
sd:=(f,a,b,u)->gr(f)(a,b)&.linalg[normalize](u): # Suunnattu derivaatta 
jana3d:=(p,v)->spacecurve([p,vl(vector(p)+vector(v))],thickness=2,color=red):
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[finnish,12pt,twocolumn]{article}
%\usepackage{/home/apiola/tex/v23harj}
%\include{/home/apiola/tex/defs}

\usepackage{v23harj}
\include{defs}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}



\harjoitus{6}{12}{30.3}

Tällä kertaa ei pidetä harjoituksia tiistaina. Silloin voidaan käsitellä
harjoitusaikana välikoetehtävien ratkaisuja, jos on kiinnostusta.

Ke ja to toimitaan, kuten ennen.


\begin{enumerate}



\item
Kolmionmuotoisen maa-alueen kahden sivun pituudet olkoot $31$ m ja  $46$ m, sivujen
väinen kulma $\alpha=72^\circ$. Pituudet on mitattu puolen metrin tarkkuudella ja kulma
yhden asteen tarkkuudella. Arvioi differentiaalin avulla pinta-alan virhettä.

(Voit huvin vuoksi laskea Maplella myös tarkan virheen ja verrata.)

\item
a)
Määritä funktion $f(x,y)=x^2-y^2$ pisteen $\V{p}=(2,-1)$ kautta kulkevan 
korkeuskäyrän tangentti tässä pisteessä.

b)
Suorita sitten sama tehtävä tapauksessa $f(x,y)=\ln(x^2+y^2)$, $\V{p}=(2,-1)$ 

Ajatus voisi olla se, että teet a)-kohdan käsin ja b)-kohdan Maplella.

Piirrä samaan kuvaan korkeuskäyrä, tangentti ja mielellään myös 
gradienttivektori.

%%%%%%%%%%%%%%% harj 6 2000 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%% harj5 2000 %%%%%%%%%%%%%%%%%%

\harjoitus{5}{12}{21--23.3}


\subsubsection*{Tiistai 21.3}


\begin{enumerate}

\item
Mitkä ovat seuraavien funktioiden luonnolliset määrittelyjoukot:

a) $f(x,y)=\frac{x+y}{x-y}$, \quad b) $f(x,y)=\sqrt{x y}$ \quad
c) $f(x,y)=\sqrt{|x y|}$, \quad d) $f(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}$, \quad
e) $f(x,y)=\frac{x y}{x^2-y^2}$ .

Hahmottele määrittelyjoukon kuva (niissä tapauksissa, joissa hahmoteltavaa on).
Tähän et tarvitse mitään ohjelmaa. 

\item
Hahmottele seuraavien funktioiden kuvaajia kynää ja paperia käyttäen:

a) $f(x,y)=\sin x, \ \ 0 \leq x \leq 2\pi, 0 \leq y \leq 1$, \quad
b) $f(x,y)=|x|+|y|,\ \ (x,y)\in \R^2$, \quad 
c) $f(x,y)=4-x^2-y^2,\ \ x^2+y^2 \leq 4, x\ge 0, y\ge 0$

Asialle on usein eduksi piirrellä korkeuskäyriä ja projektioita 
$xz-$, ja $yz-$ tasoille.

Lopuksi voit halutessasi kokeilla piirtoa Maplella tai Matlabilla.

\item
Onko seuraavilla funktioilla raja-arvo, kun $(x,y)\to (0,0)$ :

 $$\textrm{a)}\ \ \frac{x}{|x|+|y|} \qquad  \textrm{b)}\ \ 
\frac{x^2}{|x|+|y|}$$

\item
Olkoon $f:\R^2 \rightarrow \R$,

\[
f(x,y) = \begin{cases}
         1,\ \ x^2 < y < 2 x^2, \\
         0, \ \  \textit{muulloin} .
          \end{cases}
\]


Osoita, että funktiolla on sama raja-arvo origossa lähestyttäessä mitä
tahansa suoraa pitkin, mutta siitä huolimatta varsinaista raja-arvoa
ei ole olemassa. Missä pisteissä funktio on jatkuva ja missä taas ei?

%{\bf Ohje:} Kulje erityisesti O:sta alkavaa nousevaa sädettä (kulmakerroin posit.)
%1. neljänneksessä kulkien sitä alaspäin kohti origoa. Mitä tapahtuu lopulta,
%kun ollaan riittävän lähellä O:a?

%Vast

%Piirrä kuvaaja funktion rajoittumasta mielivaltaiselle origon kautta
%kulkevalle suoralle; tutki tätä varten, missä pisteissä ko\. suora leikkaa
%paraabelit $y = x^2$ ja $y = 2x^2$. Funktio on epäjatkuva näillä
%paraabeleilla.

\item
Muodosta seuraavien funktioiden 1. kertaluvun osittaisderivaatat kaikkien
esiintyvien muuttujien suhteen:

$$ \textrm{a)} \ \ x^3 y^2 + x \ln (x+y)  \quad 
\textrm{b)} \ \ \frac{xz}{x+y+z}\quad \textrm{c)} \ \ \ln(1+e^{x^2 y^3 z}) .$$

Tee ainakin osa käsin. Tarkista mielellään Maplella.

\item
Osoita, että funktiot a)~$\ln(x^2 + y^2)$, b)~$\arctan\frac yx$,
c)~$e^{ax}\cos(ay)$ ($a$ vakio) ovat Laplacen differentiaaliyhtälön
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0
$$
ratkaisuja eli ns. {\it harmonisisia funktioita}.

Jos teet käsin, riittää yksi kohta.

\end{enumerate}

\subsubsection*{Torstai 23.3}

\begin{enumerate}

\item
Tutki tiistain tehtävän 1 funktioiden kuvaajia Maplea/Matlabia käyttäen. Jaa tarvittaessa alue osiin, esim. e)- kohdassa 4:ään
osaan, jotka yhdistät {\tt display}:llä.
Käytä myös tarpeen mukaan {\tt view}-optiota välttääksesi piirtoa alueilla, joilla funktio saa hyvin suuria arvoja.

%AD s. 702 43 -- 48

\item
Piirrä Maplen {\tt plot3d}:n avulla seuraavat toisen asteen pinnat:

a) kartio, \quad b) lieriö, \quad c) ellipsoidi, \quad d) 1-vaippainen hyperboloidi,% \quad 
%e) satulapinta.

Voit paluttaa mieleesi nämä oliot vaikkapa [AG] ss. 150 -- 151 tai [Ad] s. 632
(``Quadratic Surfaces'').

\item
Tarkastellaan funktiota $f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},\ \ f(0,0)=0 .$ 
Piirrä pintapiirros
Maplella tai Matlabilla. Yritä nähdä kuvasta, osittaisderivaattojen arvot
O:ssa. Yritä edelleen nähdä funktion epäjatkuvuus O:ssa. Todista nämä
ihan oikeasti. Saat toki käyttää siinäkin Maplea tarvittaviin laskuihin.
Kun saat kaiken valmiiksi, olet tullut näyttäneeksi, että epäjatkuvalla
funktiolla voi olla osittaisderivaatat (siis epäjatkuvuuspisteessä). 

\item
Olkoon $f(x,y) = x^3 y^2 + x^4 \sin y + \cos(xy)$. Laske osittaisderivaatat
$f_{xxy}$, $f_{xyx}$, $f_{yxx}$ ja totea, että nämä ovat yhtä suuria.

Vast: Yhteinen lauseke: 
$12xy + 12x^2\cos y - 2y\cos(xy) + xy^2\sin(xy)$.

\item
Määrittele Maple-funktio:
$$
f(x,y) = xy \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}, \ \text{kun}\ (x,y) \neq (0,0),
\quad f(0,0) = 0.
$$

Huom: Jos satuit unohtamaan, funktion poikkeusarvoja voidaan lisätä yleisen
määrittelyn jälkeen tyyliin
\begin{verbatim}
> f:=(x,y)-> ... ;
> f(0,0):=0;
\end{verbatim}

Laske $f$:n ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat origossa ja muualla.
Laske toisen kertaluvun sekaderivaatat $f_{xy}(0,0)$ ja $f_{yx}(0,0)$;
totea, että nämä ovat eri suuret. Piirrä funktion kuvaaja.

\item
Osoita, että funktio $f(x,t) = u(x + at) + v(x - at)$, missä $u$ ja $v$ ovat
kahdesti derivoituvia funktioita $\R \rightarrow \R$ ja $a$ vakio, toteuttaa
osittaisdifferentiaaliyhtälön $f_{tt} = a^2 f_{xx}$, ns. aaltoyhtälön.

\item
Tutki, ovatko funktiot a)~$f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$, b)~$(x + y)|x + y|$
derivoituvia origossa? Entä jatkuvasti derivoituvia?

Vast

a)~Ei ole; \quad b)~on kumpaakin


\end{enumerate}

\subsection*{Matlab-piirto-ohjeita}

Tähän tyyliin voit piirtää minkä tahansa suorakulmaisen hilan
päällä olevan pinnan tai korkeuskäyräpiirrroksen.
Vaihda vain funktion inline-määrittely tilanteen mukaan, ja tietysti
linspace-parametrit.

\begin{verbatim}
x=linspace(-2,2,30);y=x; % Tässä neliömäinen alue/hila
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%f=inline('2*x.*y./(x.^2+y.^2)','x','y')
f=inline('(x.*y.^2)./(x.^2+y.^4)','x','y')
surfc(x,y,f(X,Y)); 
colorbar; shg
figure
contour(x,y,f(X,Y))
contour(x,y,f(X,Y),linspace(-1,1,20))

% tihennetään hilaa.
x=linspace(-2,2,60);y=x;
[X,Y]=meshgrid(x,y);contour(x,y,f(X,Y),linspace(-1,1,20));shg

[c,h] = contour(x,y,f(X,Y)); clabel(c,h), colorbar


\end{verbatim}

\end{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%% harj5 2000 %%%%%%%%%%%%%%%%%%




\end{verbatim}

\end{document}

\end{enumerate}



\end{document}
