\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v2harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
%\def\Arg#1{\textit{Arg} #1}
\def\Arg{{\textit{Arg}}\ \ }
\def\erf{{\textit{erf}}\ \ }

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{7}{11}{13 --- 15.3.2002}



\subsection*{Alkuviikko (AV)}


\begin{enumerate}

\item %1
Muodosta funktion $f(x,y)=\cos(x+\sin y)$ 
toisen asteen Taylorin polynomi kehitettyn� $(0,0)$:ssa.
Miten hyv�n approksimaaton saat arvolle $f(0.1,-0.2)$ ? (Vertaa laskimen antamaan arvoon,
ei tarvitse mietti� j��nn�stermiarviota.)

\item %2
M��rit� funktion $f(x,y)=\frac{1}{2+x-2y}$ astetta 2 oleva Taylorin
polynomi kehitettyn� pisteess� $(2,1)$


%Vihje: Tarkoitus on harjoitella yleist� kaavaa (kts. lopun kaavakokoelmaa).
%Toisaalta kannattaa my�s harkita geometrisen sarjan alkup��n k�ytt��
%muokkaamalla muotoon $c\frac{1}{1+t}$, miss� $t$ on lauseke, jossa esiintyy
%$(x-2)$:n ja $(y-1)$:n potensseja.

%Kumpi tahansa tapa kelpaa.


\item %3
Lausu neli�muodon $q(x)=x^T A x$ definiittisyydet symmetrisen matriisin
$A$ ominaisarvojen (merkkien) avulla.
(M��ritelm� paperin lopussa.)

Vihje: Lausu neli�muoto p��akselikoordinaattien
$y_i$ avulla, sitten voit lukea kuin avointa kirjaa.

\item %4
Osoita $2 \times 2$ symmetrisen matriisin $A$ tapauksessa, ett�
matriisi on 
\begin{itemize}
\item
definiitti (pos. tai neg.), jos ja vain jos $\det(A) > 0$ ,
\item
indefiniitti, jos ja vain jos $\det(A) < 0$ ,

\item 
semidefiniitti, jos ja vain jos $det(A)=0$

\end{itemize}

Vihje: Kirjoita 
$A=\left [\begin {array}{cc} a&c\\\noalign{\medskip}c&b\end {array}\right ]
$
ja muodosta karakteristinen polynomi. K�yt� hyv�ksesi toisen asteen yht�l�n juurien
ominaisuuksia. (Jos et muista, niin kerro auki $(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)$.)


\item %5
M��rit� funktion 
$f(x,y)=x^3+y^3-3xy$  %\quad (b) $f(x,y)=\cos x + \cos y$
kriittiset pisteet (KRP)
ja niiden luonne.
(min/max/satula/singulaari)

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%% AV:n loppu %%%%%%%%%%
%\footnote{Kriittinen piste: osittaisderivaatat nollia}.


\subsection*{Loppuviikko (LV)}

\begin{enumerate}

\item %1
M��rit� funktion $f(x,y)=\frac{1}{2+x-2y}$ asteita 2,3 ja 4 olevat Taylorin
polynomit kehitettyn� pisteess� $(2,1)$ (Sama kuin AV, mutta nyt Maplella)

Kts. my�s harj7ohje.mws


\item %2
Muodosta funktion $f(x,y)=\cos(x+\sin y)$ 
Taylorin polynomeja kehitettyn� $(0,0)$:ssa, vaikkapa asteeseen 
$8$ saakka.

Piirr� funktio $f(x,y)$ ja eriasteisia Taylorin polynomeja, samoin voit
piirt�� teht�v�n 1 kohdalla.
Olkoon piirt�minen t�ss� kuitenkin ``vapaaehtoista''.


Huom! Teht�v�t 1 ja 2 on tarkoitus tehd� k�ytt�en Maplea ennenkaikkea 
"derivointilaskimena".

Lopuksi kannattaa kokeilla my�s valmiin mtaylor-funktion k�ytt��.

\item %3
M��rit� funktion (sama kuin AV-teht�v�ss�)
$f(x,y)=x^3+y^3-3xy$    
kriittiset pisteet (KRP)
ja niiden luonne.
%(min/max/satula/singulaari)
Havainnollista piirroksin.

Ohje: Yht�l�systeemin ratkaisu: \verb_ solve({yht1,yht2},{x,y});_ Polynomiyht�l�iss�
kannattaa usein jatkaa komennolla {\tt allvalues}. Numeerinen ratkaisu: {\tt fsolve}

\item %4
Sama kuin edell� funktiolle
$f(x,y)=\cos x + \cos y$

\item %5
(Sopii puhtaasti k�sinlaskuun, toki saa k�ytt�� Maplea laskuapualaisena.)

Joudut tekem��n vastuunalaisen p��t�ksen mitoista
valmistettaessa laatikkoa.
Pohjamateriaali on kaksi kertaa niin kallista pinta-alayksikk�� kohti
kuin sivu- tai kansimateriaali. Mill� mitoilla saat V-tilavuuksisen
laatikon materiaalikustannukset minimoiduksi?
Perustele, ett� ratkaisusi on globaali minimi joukossa 
$\lbrace (x,y) | x>0, y>0 \rbrace$. (Toisia derivaattoja ei v�lttm�tt�
tarvita.)

\item %6
Ylim��r�inen "projektiteht�v�", saa tehd� 2:n hengen ryhm�ss�. Maksimisuoritus: 3 tavallista
rastia, menev�t normaalin pistekiinti�n yli.

M��rit� funktion
$f(x,y)=1/x+1/y+\sin(x^2y^2)$ suurin ja pienin arvo 
joukossa $[1,2]\times [1,2]$

Annetaan aikaa harjoitukseen LV 8 saakka (pe 22.3.) 
\end{enumerate}



\subsection*{Ohjeita}

\subsubsection*{Neli�muotojen definiittisyys}

{\bf M��r:} Neli�muoto $q(x)=x^T A x$ (A on symmetrinen matriisi)
on 
\begin{enumerate}

\item
positiivisesti definiitti, jos $q(x) > 0$ $\forall x\neq 0$,

\item
negatiivisesti definiitti, jos $q(x) < 0$ $\forall x\neq 0$,
\item
positiivisesti semidefiniitti, jos $q(x) \ge 0$ $\forall x\in \R^n$
ja $\exists y\ne 0$, jolla $q(y)=0$,


\item
negatiivisesti semidefiniitti, jos $q(x) \leq 0$ $\forall x\in \R^n$
ja $\exists y\ne 0$, jolla $q(y)=0$,

\item
indefiniitti, jos $\exists x, y$ siten, ett� $q(x) > 0$ ja $q(y) < 0 .$ 

Samoja definiittisyysk�sitteit� k�ytet��n my�s symmetrisest� matriisista $A$.


\subsubsection*{Taylorin polynomit}

Kahden muuttujan Taylorin polynomi kehitettyn� pistees� $p$ voidaan kirjoittaa:

$$P_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} (h_1 D_1 + h_2 D_2)^k f(p)$$

T�st� on helppo arvata, miten useamman muuttujan polynomi rakentuu.

Erityisesti 2. asteen Taylorin kaava voidaan kirjoittaa muotoon

$$f(p+h)=f(p)+h^T \nabla f(p) + \frac{1}{2} h^T H_f(p)h + R_2(h),$$
joka p�tee n:n muuttujan funktiolle sellaisenaan.
T�ss� j��nn�stermi $R_2(h)=||h||^3 O(h)$ . (Eli riitt�v�n pieness� $p$:n yst�ss� p�tee: $R_2(h)\leq M ||h||^3 $ jollain vakiolla $M$.)

\end{enumerate}

\subsubsection*{Kriittiset pisteet, ��riarvot}

Kriittinen piste (KRP) $p$: $\nabla f(p)=0$.\\
Kriittisen pisteen laatu selvi�� (jos selvi��) Hessen matriisin $H_f(p)$ definiittisyydest�.

\end{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\item
(a) M��rit� funktion
$f(x,y)=1/x+1/y+\sin(x^2y^2)$ suurin ja pienin arvo 
joukossa $[1,2]\times [1,2]$

(b) M��rit� $f$:n pienin arvo koko $\R^2$:ssa

\item
Joudut tekem��n vastuunalaisen p��t�ksen mitoista
valmistettaessa laatikkoa.
Pohjamateriaali on kaksi kertaa niin kallista pinta-alayksikk�� kohti
kuin sivu- tai kansimateriaali. Mill� mitoilla saat V-tilavuuksisen
laatikon materiaalikustannukset minimoiduksi?
Perustele, ett� ratkaisusi on globaali minimi joukossa 
$\lbrace (x,y) | x>0, y>0 \rbrace$. (Toisia derivaattoja ei v�lttm�tt�
tarvita.)

\item
Olkoon $f(x,y)=(y-x^2)(y-2x^2)$. Osoita, ett� origo on kriittinen piste.
Osoita edelleen, ett� se on paikallinen minimi, jos rajoitutaan 
mielivaltaiseen O:n kautta kulkevaan
suoraan. Osoita, ett� O ei ole funktion paikallinen minimi $\R^2$:ssa.

(Ehk� t�m� her�tt�� vanhoja muistoja raja-arvoteht�v�st�, jossa samoja 
paraabeleita tarkkailtiin.)

\item
a)
M��rit� ja luokittele funktion $f(x,y)=x^2+2y^2-4x+4y$ kriittiset pisteet
(taitaa t�ss� olla vain yksi) ja niiden (sen) luonne. 
\footnote{Kriittinen piste: osittaisderivaatat nollia}.

b) Samat sanat (nyt ainakin monikko) funktiolle
$f(x,y)=x^3+y^3-3xy$.
\item
M��rit� funktion $f(x,y)=\cos x + \cos y$ kriittiset pisteet ja niiden luonne.



\end{enumerate}


\subsection*{Loppuviikko (LV)}

\begin{enumerate}


\item
M��rit� funktion $f(x,y)=\frac{1}{2+x-2y}$ asteita 2,3 ja 4 olevat Taylorin
polynomit kehitettyn� pisteess� $(2,1)$

Kts. my�s harj7ohje.mws


\item %2
Muodosta funktion $f(x,y)=\cos(x+\sin y)$ 
Taylorin polynomeja kehitettyn� $(0,0)$:ssa, vaikkapa asteeseen 
$8$ saakka.

Tietysti voit piirt�� f:n ja eriasteisia Taylorin polynomeja, mutta j��k��n
vapaaehtoisen harrastuksen varaan. 

Huom! Teht�v�t 1 ja 2 on tarkoitus tehd� k�ytt�en Maplea ennenkaikkea "derivointilaskimena".

Lopuksi kannattaa kokeilla my�s valmiin mtaylor-funktion k�ytt��.


\item %1
%\item
%M��rit� Lagrangen kertojamenetelm�ll� funktion $f(x,y)=x^3y^5$ maksimi suoralla
%$x+y=8$.

\item
M��rit� Lagrangen kertojamenetelm�ll� funktion 
$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ maksimi- ja minimiarvot kartion 
$z^2=x^2+y^2$ ja tason $x-2z=3$ leikkausellipsill�.

\item %1
Lanka, jonka pituus on $L$ leikataan (sis�lt�� my�s yhden p�tk�n
mahdollisuuden, jolloin oikeasti ei leikata) 
korkeintaan kolmeen p�tk��n ja jokainen
p�tk� taivutetaan neli�ksi. M��rit� neli�iden alojen summan maksimi ja minimi.


\item
Sovita PNS-suora dataan $(2,2),(5,4),(6,6),(9,9),(11,10)$
Piirr� datapisteet ja suora.

\item
Joulukuun 1--28 p�iv�n� 1981 aurinko laski {\it Lund}:ssa klo 15.30:n ja 
15.45:n v�lill� seuraavan taulukon mukaisesti, miss� x tarkoittaa p�iv��
($1 \leq x \leq 28$) ja y minuuttim��r�� klo 15.30:n j�lkeen, jolloin aurinko
laski. 

%\vfill\eject

\begin{verbatim}
     x     y     x     y

     1     8   19-21   3
     2     7   22-23   4
     3     6    24     5
    4-5    5    25     6
    6-7    4   26-27   7
    8-9    3    28     7
   10-18   2
\end{verbatim}

Data voidaan esitt�� varsin hyvin 2. asteen polynomilla. M��rit� kertoimet 
a,b,c, piirr� data ja polynomi. Min� p�iv�n� auringonlaskuaika saavuttaa
minimins� mallin mukaan. (Kirjasta {\it Fr�berg}: Numerical Analysis 1985)

%N�m� ovat kesken��n vaihtoehtoisia.

\item
Sovita eriasteisia PNS-polynomeja vanhaan kunnon census-dataan.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
%\multicolumn{7}{|c|} \\ \hline
  Vuosi & 1940  & 1950  & 1960 & 1970 & 1980 & 1990 \\ \hline
  V�ki & 132.165 &151.326 &179.323 &203.302 & 226.542 & 249.633  \\ \hline
\end{tabular}.


Kokeile eri muotoisia kantafunktioita (muista eri skaalaukset 
interpolaatioteht�vien yhteydess�).
(Huomaa, ett� normaaliyht�l�ratkaisulla on taipumusta h�iri�alttiuteen.)

\item
Tutustu ohjeiden mukaan numeerisiin optimointimenetelmiin, erityiseti
jyrkimm�n laskeuman, eli "steepest descent", eli gradienttimenetelm��n
ja Newtonin menetelm��n (sek� optim. ett� yht�l�syst.)
Implementoi Maplella sopiva versio/yhdistelm� ja testaa. Ohjeita 
implementointiin ja
sopivia testiesimerkkej� annetaan.

\item
\item
M��rit� Lagrangen kertojamenetelm�ll� funktion $f(x,y)=x^3y^5$ maksimi suoralla
$x+y=8$.

\item
M��rit� funktion $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ maksimi- ja minimiarvot kartion 
$z^2=x^2+y^2$ ja tason $x-2z=3$ leikkausellipsill�.

\item
Sama kuin edell� funktiolle $$f(x,y)=\frac{xy}{2+x^4+y^4}$$

\item
Maplessa on linalg-pakkauksessa funktiot eigenvectors ja hessian. Laske teht�vien 3 ja 4 tapauksessa Hessen matriisin ominaisarvot ja -vektorit.
Tee hypoteesi, jolla uskot voivasi p��tt�� ominaisarvojen merkkien avulla
KRP:n luonteen (tai sen, ettei luonteesta voi sanoa).

T�ydenn� n�iden teht�vien kuvia piirt�m�ll� ainakin johonkin KRP:een
ominaisvektorit.


\end{enumerate}

\subsubsection*{Esimerkkej� optimointiin ja ep�lin. systeemeihin}

\begin{enumerate}
\item 
$f(x,y)=e^x(4x^2+2y^2+4xy+2y+1)$

$f(x,y)=100(y-x^2)^2+(1-x)^2$  {\em Rosenbrockin banaanifunktio}

$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+10x_2^2+100x_2^2$



\end{enumerate}

