\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
mlLi004.tex
Matlab/Maple/Mathematica\\  
%H2T18/mlLi100/mplLi100/mmaLi100

Tarkastellaan yhtälösysteemejä:
$$
\begin{cases}
10 x_1 + 7 x_2 + 8 x_3 + 7 x_4 = 32 \\
7 x_1 + 5 x_2 + 6 x_3 + 5 x_4 = 23 \\
7x_1 + 6x_2 + 10 x_3 + 9 x_4 = 33\\
7 x_1 + 5 x_2 + 9 x_3 + 10 x_4 = 31 
\end{cases}
$$
ja
$$
\begin{cases}
2x_1+x_2+5x_3+x_4=9\\
x_1+x_2-3x_3 -x_4 = -5\\
3x_1 + 6x_2-2x_3+x_4 = 8\\
2 x_1 + 2 x_2 + 2 x_3 -3 x_4 = 3
\end{cases}
$$

\begin{itemize}
\item[a)]
Ratkaise molemmat systeemit.

\item[b)]
Muuttamalla vähän yhtälön dataa (oikeaa puolta ja/tai kerroinmatriisia), voidaan tutkia systeemin herkkyyttä pienille virheille (datassa ja pyöristyksessä).

Ratkaise 1. systeemi oikean puolen vektoreilla \\ 
\verb_ [32.1, 22.9, 32.9,31.1]'_ ja \verb_[32.01, 22.99,32.99,31.01]'_ \\
 ja 2. systeemi vektoreilla\\
\verb_[9.1 -5.1, 7.9, 3.1]' _ ja \verb_[9.01, -5.01, 7.99, 3.01]' _ .

Mitä nämä pienet häiriöt vaikuttavat ratkaisuihin?

\item[c)]
Muuta kerroinmatriiseja lisäämällä matriisien kuhunkin alkioon pieni satunnaisluku \\
\verb_0.1*rand_ .
Ratkaise systeemit alkuperäisillä oikeilla puolilla.
Mitä nämä muutokset vaikuttavat ratkaisuihin.

\item[d)]
Lineaarisen yhtälösysteemin herkkyyttä pienille virheille sanotaan \emph{häiriöalttiudeksi}
(\emph{``ill-conditioned ``}). Laske kummankin matriirin häiriöalttius.

Suhteellisen virheen suurtenemisypäyhtälö:

$$\frac{|| \Delta x||}{|| x ||} \leq \kappa \frac{|| \Delta b||}{|| b ||}$$

Pahimmillaan ratkaisun suhteellinen virhe voi olla luokkaa $\kappa \times$ (datan suhteellinen 
virhe) ($\kappa = cond(A)$)

\end{itemize}

%\begin{vihje}
%\end{vihje}
%\vskip 2mm
%\hrule
%\begin{ratk}
%\end{ratk}
%\hrule
%\textbf{Avainsanat:}

\textbf{Luokittelu}: \\
\texttt{mplteht/mplLinis/mplLixx.tex}, \texttt{matlabteht/mlLinis/mlLixx.tex}\\
\textbf{Avainsanat:}\\ 
Numeerinen lineaarialgebra, matriisit, lineaariset yhtälöryhmät, häiriöalttius


\end{tehtava}
\end{Tehtava}

