mlPDE001.tex  [mlLA006.tex] \\
%\textbf{Korjattu versio} (31.3.14)\\
%Tässä tehtävässä tarvitsee vain muodostaa ja ratkaista lineaarinen yhtälöryhmä
%annettujen ohjeiden mukaan.

Tehtävä sopii myös puhtaasti lineaaristen yhtälöryhmien harjoitteluun, viittaus: Lineaarialgebra-osiossa: mlLA006

%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/harj1.eps}
%\vfill\eject
\emph{Tasapainolämpötilajakauma metallilevyssä.}\\
 Kuva esittää metallilevyä,
joka on ylä- ja alapinnoiltaan lämpöeristetty ja jonka reunojen lämpötilat
on kiinnitetty. (Lämpöä virtaa vain reunojen kautta.) Tasapainolämpötilajakauma
saadaan \emph{Laplacen yhtälön $\Delta u=0$} ratkaisuna. Numeerinen approksimaatio voidaan laskea ns. differenssimenetelmällä: Jaetaan levy sopivilla hilaviivoilla osiin ja numeroidaan näin muodostuvat solmupisteet. Menetelmä: Kunkin 
hilasolmun lämpötila on naapurisolmujen lämpötilojen keskiarvo. (Johdetaan
kurssin lopulla.)


Muodosta $4\times 4-$ yhtälösysteemi solmujen $1,2,3,4$ lämpötilojen likiarvoille $u_1,u_2,u_3,u_4.$ 
Ohje: Aloitetaan solmusta 1: $u_1 = \frac{1}{4}(30 + u_2 + u_3 + 10)$. Vastaavasti muut kolme solmua.
% (Tehtävä jatkuu loppuviikolla.)
%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/lampohila.eps}
%\includegraphics{img/lampo.eps}
%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/lampo.eps}
%\vfill\eject

\begin{verbatim}
               20      20
        |----- o  ----  o ------|
        |                       |
        |                       |
     10 o      o 3      o 4     o  40
        |                       |
        |                       |
     10 o      o 1      o 2     o  40
        |                       |
        |                       |
        |----- o ------ o ------|
               30       30
\end{verbatim}

\begin{enumerate}

\item[(a)]
Ratkaise yhtälösysteemi ja sijoita ratkaisulämpötilat ao. 
hilapisteisiin.
\item[(b)] 
Muodosta $4\times 4-$ matriisi, jossa on reunalämpötilat 
ja ratkaisemasi sisäpistelämpötilat sekä nurkissa lähinnä olevien kahden
reunasolmun keskiarvot tähän tapaan:
\verb_ U=[15 20 20 30;10 u3 u4 40; 10 u1 u2 40; 20 30 30 35];_
Piirrä ratkaisupinnan approksimaatio:\verb_ mesh(U)_ tai \verb_surf(U)_.

\item[(b')]
Ehka hiukan selkeämpää on rakentaa U-matriisi vaiheittain vaikka tähän 
tapaan:
\begin{verbatim}
   u=u'  % Vaakavektoriksi
   U=zeros(4,4)
   U(1,:)=[15 20 20 30]
   U(2,:)=[10 u(3:4) 40]
   ...
   ...   
\end{verbatim} 

\end{enumerate}

%\textbf{Huom:} Vaikka ohjeet viittaavat Matlabiin, tehtävän suorittaminen Maplella
%onnistuu aivan yhtä hyvin. (Kun tehtävän kokoa kvadraattisesti kasvattavaa diskretointia 
%hienonnetaan, alkaa suositus enenevässä määrin kallistua Matlabiin.)
%\textbf{Avainsanat:}Lämpötilamatriisi, Laplacen yhtälön diskretointi, differenssimenetelmän
%alkeellisin perustehtävä, lin00eaarinen yhtälöryhmä.  




\textbf{Vaativuus:} 2 \\
\textbf{Tehtävän Latex-koodi:}\\
\href{../mlteht/mlPDE/mlPDE001.tex}{../mlteht/mlPDE/mlPDE001.tex}\\

\textbf{Ratkaisu:}  \\
%\href{../mlteht/mlPDE/ratkaisut/html/mlPDE001R.html}{../mlteht/mlPDE/ratkaisut/html/mlPDE001R.html} \\
\href{../mlteht/mlPDE/ratkaisut/html/mlPDE001R.pdf}{../mlteht/mlPDE/ratkaisut/html/mlPDE001R.pdf} \\
\href{../mlteht/mlPDE/ratkaisut/mlPDE001R.m} {../mlteht/mlPDE/ratkaisut/mlPDE001R.m} \\
     

%%%%%%%%% Harvemmin esiintyviä %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textbf{Aputiedostoja,viitteitä}\\
%  \begin{itemize}\\
%    \item 
%  \href{../mlteht/mlPDE/apusrc/mlPDE001A.mw}{ Oppilaille: ohje-ja pohjatyöarkki (mw)} (Linkki mukaan mlPDE000.tex-tiedostoon)\\
%\item
%\href{../mlteht/mlPDE/apusrc/mlPDE001Aope.tex}{ Opettajalle: Latex-lisäohjeita liitettäväksi tehtäväpaperiin}\\
%\end{itemize}\\
   
%\textbf{Vastaavanlaisia tehtäviä:}\\
   
%\begin{enumerate}\\
%\item Perusesim tähän kohtaan:\\
%\end{enumerate}\\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\textbf{Avainsanat:} Lämpötilamatriisi, Laplacen yhtälön diskretointi, differenssimenetelmän perustehtävä, lineaarinen yhtälöryhmä, Discretizaton of Laplace PDE, Linear system of equations, mlPDE,mlLA
   

\hrule
