
mlPDE002.tex, [Maple:mplLinalg/mplLA010.tex] \\
Lay: Linear Algebra p. 12 probl. 35

Tehtävä sopii myös puhtaasti lineaaristen yhtälöryhmien harjoitteluun.

Tarkastellaan l\"amm\"onjohtumista ohuessa metallilevyss\"a. Oletetaan, ett\"a
johtumista tapahtuu vain levyn suunnassa, ja levyn reunoilla on
annetut (ajan suhteen) vakiol\"amp\"otilat.
Levyn l\"amp\"otilat eri pisteiss\"a asettuvat ajan kuluessa arvoihin,
jotka ovat ajan suhteen vakioita, t\"all\"oin puhutaan l\"amp\"otilajakauman
tasapainotilasta ("steady state").
Teht\"av\"an\"a on m\"a\"aritt\"a\"a l\"amp\"otilajakauma levyss\"a tasapainotilan vallitessa.

Tarkastellaan kuvan mukaista tilannetta: 
%(Klikkaa oikealla olevaa pdf-linkki\"a,niin kuva n\"akyy kunnolla.)

\begin{verbatim}
               --- 20----20---20----    
              |    |     |     |    |
             10----*-----*-----*---40
              |    |     |     |    |
             10----*-----*-----*----40
              |    |     |     |    |
               ----20----20----20---
\end{verbatim}

Kuvassa n\"akyv\"at annetut vakioreunal\"amp\"otilat (reunaehdot).
Teht\"av\"an\"a on laskea ratkaisuapproksimaatiot *:ll\"a merkityiss\"a 
sis\"asolmupisteiss\"a k\"aytt\"aen seuraavaa periaatetta: L\"amp\"otila levyn
solmupisteess\"a on naapurisolmujen l\"amp\"otilojen keskiarvo.

Jos indeksoidaan solmupisteiden l\"amp\"otilat vaakarivij\"arjestyksess\"a:
$T_1,\ldots T_6$, voidaan ryhty\"a kirjoittamaan yht\"al\"oit\"a tyyliin:

$T_1=\frac{20+10+T_4+T_2}{4}, \ldots .$

Kirjoita koko $6\times 6$- yht\"al\"osysteemi "standardimuodossa".\\ 
{\bf Huom:} Tasapainotilaratkaisu saadaan ns. {\em Laplacen yht\"al\"on}
$\nabla^2 T = 0$ ratkaisuna. T\"ass\"a esitettyyn likim\"a\"ar\"aismenettelyyn
ns. \emph{differenssimenetelm\"a\"an}
%\newpage



\textbf{Vrt:} Tehtävä mlPDE001 sisältää vastaavan suorituksen jatkokäsittelyohjeineen ja ratkaisuineen. Samanlaiset ohjeet sopivat tähän.
\\
** LINKKI **

%%%%%%%%%%%%%%%%%

\textbf{Vaativuus:} 2 \\
\textbf{Tehtävän Latex-koodi:}\\
\href{../mlteht/mlPDE/mlPDE002.tex}{../mlteht/mlPDE/mlPDE002.tex}

%\textbf{Ratkaisu:}  \\
%\href{../mlteht/mlPDE/ratkaisut/html/mlPDE002R.html}{../mlteht/mlPDE/ratkaisut/html/mlPDE002R.html} (Publish: m-tied.-> html) \\
%\href{../mlteht/mlPDE/ratkaisut/mlPDE002R.m} {../mlteht/mlPDE/ratkaisut/mlPDE002R.m} (Matlab:n m-tiedosto)\\
     

%%%%%%%%% Harvemmin esiintyviä %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textbf{Aputiedostoja,viitteitä}\\
%  \begin{itemize}\\
%    \item 
%  \href{../mlteht/mlPDE/apusrc/mlPDE002A.mw}{ Oppilaille: ohje-ja pohjatyöarkki (mw)} (Linkki mukaan mlPDE000.tex-tiedostoon)\\
%\item
%\href{../mlteht/mlPDE/apusrc/mlPDE002Aope.tex}{ Opettajalle: Latex-lisäohjeita liitettäväksi tehtäväpaperiin}\\
%\end{itemize}\\
   
%\textbf{Vastaavanlaisia tehtäviä:}\\
   
%\begin{enumerate}\\
%\item Perusesim tähän kohtaan:\\
%\end{enumerate}\\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\textbf{Avainsanat:} Lämpötilamatriisi, Laplacen yhtälön diskretointi, differenssimenetelmän perustehtävä, lineaarinen yhtälöryhmä, Discretizaton of Laplace PDE, Linear system of equations, mlPDE,mlLA, Osittaisdifferentiaaliyhtalo, Partial differential equation, Matlab 
   

\hrule

   


