

mplLA008.tex\\

(a)
Osoita, että monomit $1,x,x^2,\ldots,x^n$ ovat {\tt LRT} $\mathbb{R}$:ssä 
(ts. määrittelyjoukkona koko $\mathbb{R}$) .\\
(b)
Osoita, että ne ovat {\tt LRT} myös jos määritelyjoukkona on mikä
tahansa väli $\lbrack a,b\rbrack$.

(Tietysti riittää tehdä pelkkä (b), niinhän.)

Tapoja on monia: (a)-kohdassa vektoriyhtälö voidaan derivoida
toistuvasti ja laskea $0$:ssa. Tai voidaan käyttää LRV-lemmaa
ja todeta raja-arvokäytöksen perusteella, että $x^k$ ei voi yhtyä
alemmanasteiseen polynomiin.

(b)-kohta hoituu ainakin polynomien tekijöihinjaolla (ei haittaa, vaikka tulee kompleksilukuja mukaan).
Eräs tapa olisi osoittaa, että ns. Vandermonden matriisi on
aina kääntyvä (sarakkeet LRT). 
(Toisaalta tämä tulee sivutuotteena, jos käytämme jotain muuta tapaa.)
Kyseessä on matriisi, joka saadaan, kun monomit $1,x,\ldots x^n$ lasketaan
$n+1$:ssä pisteessä $x_0,\ldots, x_n$ (Pisteet vaakasuuntaan, potenssit
pystysuuntaan.)
Maplen {\tt LinearAlgebra}:ssa on {\tt VandermondeMatrix} .

(c) Piirrä monomien kuvaajia vaikkapa välillä $\lbrack-1,1\rbrack$ ja yritä
nähdä kuvasta lineaarinen riippumattomuus. 
Piirrä monomeja isoilla peräkkäisillä parillisilla (tai parittomilla) 
$n$:n arvoilla ja totea "melkein LRV". 
Tämä ilmenee numeerisessa laskennassa esim. interpolaatiopolynomin tapauksessa "häiriöalttiutena".

\textbf{Lyhenteet:}\\ 
\emph{Lineaarisesti riippumaton:} \texttt{LRT} \\
\emph{Lineaarisesti riippuva:}\texttt{LRV}

\textbf{Vihje:}
 Puhdas k\"asinlasku, paitsi c)-kohta.


\textbf{Vaativuus:} 2 \\
\textbf{Tehtävän Latex-koodi:}\\
\href{../mplteht/mplLinalg/mplLA008.tex}{../mplteht/mplLinalg/mplLA008.tex}

\textbf{Ratkaisu:}  \\
\href{../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA008R.pdf}{../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA008R.pdf} \\
\href{../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA008R.mw} {../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA008R.mw} \\
     

%%%%%%%%% Harvemmin esiintyviä %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textbf{Aputiedostoja,viitteitä}\\
%  \begin{itemize}\\
%    \item 
%  \href{../mplteht/mplLinalg/apusrc/mplLA008A.mw}{ Oppilaille: ohje-ja pohjatyöarkki (mw)} (Linkki mukaan mplLA000.tex-tiedostoon)\\
%\item
%\href{../mplteht/mplLinalg/apusrc/mplLA008Aope.tex}{ Opettajalle: Latex-lisäohjeita liitettäväksi tehtäväpaperiin}\\
%\end{itemize}\\
   
%\textbf{Vastaavanlaisia tehtäviä:}\\
   
%\begin{enumerate}\\
%\item Perusesim tähän kohtaan:\\
%\end{enumerate}\\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

   
\textbf{Avainsanat:} Lineaarialgebraa Maplella, matriisilaskentaa,mplLinalg,mplLA,monomien lineaarinen riippumattomuus, monomit \\

\textbf{Maplefunktioita:} with(LinearAlgebra); with(linalg); Matrix, matrix, Vector, vector \\\\

\hrule
