mplODE016.tex (vrt. Matlab: mlODE007.tex) \\
Tarkastellaan (AA)-tehtävää
$$y'={\frac{2\sqrt{y-\ln t} }{t}}+{\frac{1}{t}},\ \ y(1)=0$$
välillä $t \in [1,1.8]$
Ratkaise tehtävä 
\begin{enumerate}[(a)]
\item Eulerin menetelmällä askelpituudella $h=0.1$
\item Heunin menetelmällä  askelpituudella $h=0.2$
\item RK4- menetelmällä  askelpituudella $h=0.4$.
\end{enumerate}

Määritä tarkka ratkaisu Maple:n {\tt dsolve}-komennolla ja laske
sen avulla virheet, piirrä ja taulukoi kussakin tapauksessa.

Huomaa, että näillä askelpituuksien valinnoilla funktion arvojen 
laskentamäärät ovat samat.


Eulerin menetelmän koodit (sisältyvät myös apupakettiin 
*** Etsi/pura/tee *** mplODE016apu.zip):\\
Maple: [HAM s. 206]
(copy/paste $\rightarrow$ Maple-istuntoon)
\begin{verbatim}
Euler:=proc(f,a,b,ya,m)
local n,h,t,y;
h:=evalf((b-a)/m);
t[0]:=a;y[0]:=ya;
for n from 0 to m do
  y[n+1]:=y[n]+h*f(t[n],y[n]);
  t[n+1]:=t[n]+h;
end do;
seq([t[n],y[n]],n=0..m);
end: 
\end{verbatim}
 Esim: $y'=t-y^2$
\begin{verbatim}
f:=(t,y)->t-y^2;
e3:=Euler(f,0,5,1,3);
plot([e3]);
\end{verbatim}

*** Laitetaan myös Heun ja RK4 ***

Matlab: (Kts. vastaava Matlab-teht.)
\begin{verbatim}
\end{verbatim}

\textbf{Huom:} Tästä voi kehitellä monenlaisia tehtävävariaatioita, myös ilman numeeristen menetelmien
korostusta.


%\textbf{Vihje}\\
\textbf{Vaativuus:} 2 \\
\textbf{Tehtävän Latex-koodi:}\\
\href{../mplteht/mplODE/mplODE016.tex}
{../mplteht/mplODE/mplODE016.tex} \\\\
%\textbf{Ratkaisu:}  \\
%\href{../mplteht/ratkaisut/mplODE016R.pdf}{pdf-muodossa}\\
%\href{../mplteht/ratkaisut/mplODE016R.mw} {Maple worksheet,mw-tiedosto}\\
     
%\textbf{Aputiedostoja,viitteitä}\\
%  \begin{itemize}\\
%    \item 
%  \href{../mplteht/mplODE/apusrc/mplODE016A.mw}{ Oppilaille: ohje-ja pohjatyöarkki (mw)} (Linkki mukaan mplODE000x.tex-tiedostoon)\\
%\item
%\href{../mplteht/mplODE/apusrc/mplODE016Aope.tex}{ Opettajalle: Latex-lisäohjeita liitettäväksi tehtäväpaperiin}\\
%\end{itemize}\\
   
%\textbf{Vastaavanlaisia tehtäviä:}\\
   
%\begin{enumerate}\\
%\item Perusesim tähän kohtaan:\\
%\end{enumerate}\\
   
\textbf{Avainsanat:}diffyhtälöt, diffyhtalot, mplODE, mpldifferentiaaliyhtälöt,differentiaaliyhtälön numeriikka, numeeriset menetelmät, Eulerin menetelmä, Heunin menetelmä, Runge-Kutta, RK4 \\


\textbf{Viitteet:}\\
\texttt{[KRE]}
E. Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics, Wiley\\
\texttt{[HAM]}
Heikki Apiola:
Symbolista ja numeerista matematiikkaa Maple-ohjelmalla, Otatieto 588, 1998.
